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至少从17世纪开始，爱情问题就已经让数学家头疼了。现代人知道约翰尼斯·开普勒这个名字，或许是因为他发现行星轨道是椭圆形的，此外他还是“哥白尼革命”的重要成员，与伽利略、牛顿等人一起，颠覆了人类对自己在宇宙中所处位置的认知。不过，开普勒也不是不食人间烟火。1611年，在他的第一任妻子离世后，渴盼重建家庭的开普勒开始了漫长而艰苦的求爱经历，前后一共交往了11名女性。在前4名交往对象中，开普勒最喜欢第4个（“因为她身材高挑，英姿飒爽”），但是他没有就此打住。开普勒回忆说：“如果不是爱情和理智把第5名女性强推给我，我应该已经安定下来了。但是，这名女性对我的爱，她的谦恭忠诚、勤俭持家以及她对继子继女的爱，一下子征服了我。”
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他接着说道：“不过，我仍然我行我素，继续与其他女性交往。”
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亲朋好友继续为开普勒牵线搭桥，开普勒也没有拒绝，不过兴致不是很高，因为他的心仍然被第5名交往对象占据着。在一共交往了11名女性之后，开普勒决定收手了。他回忆说：“就在我准备前往雷根斯堡的时候，我回过头来去找第5名交往对象并向她求婚，结果她同意了。”于是，开普勒和苏珊娜·罗伊特林格举行了婚礼。除了第一次婚姻留给他的几个孩子之外，开普勒和罗伊特林格又生了6个孩子。据说，开普勒之后的家庭生活十分幸福美满。
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开普勒和特里克在寻觅爱情上的亲身经历告诉我们（两者的结局正好相反），秘书问题把情况想得过于简单了。在经典的秘书问题中，申请者肯定希望得到那份工作，像特里克那样遭遇拒绝的情况绝不会发生。此外，申请者一旦被否决之后，就不可以“复活”，因此开普勒采取的策略是行不通的。
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在秘书问题首次被提出后的几十年时间里，人们研究了各种各样的情境，并结合不同的条件提出了若干最优停止策略。例如，针对可能遭到拒绝的问题，他们提出了一个简单明了的数学答案：尽早向多名对象伸出橄榄枝。假如遭到拒绝的可能性是50%，那么得出37%法则的那个数学分析过程就会告诉你，遴选过程完成1/4后就应该随时准备求婚了。如果遭到拒绝，那么在发现下一个最佳人选时要再次求婚，直到求婚成功为止。运用这个策略，获得成功（即向所有人选中的最佳人选求婚并被接纳）的总概率仍然可以达到25%。根据自己的标准寻觅爱情本身就有难度，再加上遭到拒绝这个不利条件，25%的成功概率可以算是一个还不错的结果了。
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开普勒把自己没有及时出手的原因归咎于“不安现状、心存疑虑”。他在一封信中向自己的知己好友哀叹：“难道非得四处碰壁，所有欲望都落空之后，我的心才会平静下来，接受命运的摆布吗？”在这种情况下，最优停止理论同样可以起到一定的安慰作用。事实证明，不安现状和心存疑虑并不是道德沦丧或者心理退化的标志，而是在合适情境下捕捉二次机会的最有效策略的一个组成部分。如果可以复活之前被放弃的人选，最优算法就会对我们所熟悉的摸清情况再行动准则做一个小的调整：推迟表态时间，制订备用计划。
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例如，我们假设即时求婚肯定会被接受，而迟滞求婚则有一半的可能遭到拒绝。根据数学分析，我们在观察前61%的人选时都不应该表态，等到剩余39%的人选中出现目前最优秀人选时再出手。如果考察完了所有人选之后仍然没有找到合适对象（开普勒当时就面临这种情况），就回过头，在你淘汰的人选当中选择最优秀的那个。在这种情况下，策略与结果之间再次表现出对称性，在允许二次选择这个条件下，你最终选中最优秀人选的概率仍然是61%。
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正因为现实与经典秘书问题有所不同，所以开普勒最终还是找到了自己的幸福。事实上，经典问题发生的那个小变化也没有导致特里克愿望落空。在遭到拒绝之后，特里克读完大学并在德国找了一份工作。特里克回忆说：“我在酒吧里遇到一位漂亮的姑娘，我们一见钟情，三周后就同居了。后来，我邀请她去美国‘暂住一段时间’。”姑娘接受了邀请。6年后，他们举行了婚礼。
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算法之美：指导工作与生活的算法 [:1700494106]
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算法之美：指导工作与生活的算法 掌握候选对象的完整信息
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经典秘书问题的前提条件是，即时表态一定会被接受，而迟滞表态肯定会遭到拒绝，但是我们在前面讨论的第一组变量（拒绝与复活）则颠覆了这个前提。在这种情况下，最有效的应对办法没有任何变化，仍然是：不要急于表态，观察一段时间后及时出手。
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不过，秘书问题的一个更重要的前提，可能会引起我们的异议。在秘书问题中，除了可以相互比较之外，我们对这些申请者一无所知。对于优秀人员应该具有哪些特点，我们无法参考任何客观标准或者已有标准，而且在比较这些申请者时，我们只能知道孰优孰劣，但是无法了解彼此之间的确切差距。正因为如此，“观望”阶段是不可避免的。在前期阶段，我们冒着与优秀人选失之交臂的危险，不断调整我们的期望值与权衡标准。数学家把这种最优停止问题称作“无信息博弈”。
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这种情境可能与大多数寻租公寓、寻觅伴侣和招聘秘书的情况有天壤之别。假设我们可以参考某种客观标准。例如，安排所有秘书参加打字考试，然后像美国高考（SAT）、研究生入学考试（GRE）或者法学院入学考试（LSAT）那样按照百分制统计成绩。也就是说，根据得分，我们可以知道每名申请者的打字水平在所有人选中的位置。如果申请者得了51分，则表示她的打字水平略高于平均水平，如果得了75分，则表示她的水平高于3/4的申请者，以此类推。
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假设所有申请者可以代表全体人口样本，而且所有数据没有受到任何倾向性或者自选择的影响。同时，假设打字速度是我们判断申请者是否合适的唯一条件。此时，情况就完全不同了，因为我们拥有数学家所谓的“全信息”。1966年的那篇秘书问题研讨会论文指出：“不需要根据积累的经验设定判断标准。有时，我们可以立刻做出一个有益的选择。”换言之，即使得95分的申请者第一个接受评判，我们也可以信心满满地立刻与她签约。当然，前提是我们认为所有申请者中没有得96分的。
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问题来了。如果我们的目标是找到最适合这份工作的优秀人选，那么我们仍然需要小心斟酌，因为其余的申请者当中可能还有更加优秀的人选。不过，既然我们掌握了全信息，就可以直接计算这种可能性到底有多大。例如，下一个申请者得到96分或者更高分的可能性一定是1/20。因此，是否立刻停止的决定取决于还剩下多少申请者没有接受面试。全信息的意义在于我们无须观望就可以直接出手。此时，我们可以运用阈值准则，一旦发现某位申请者的分数高于某个值，就立刻接受她，而不需要先考察一批候选人并确定阈值。但是，我们需要密切关注可供选择的人还有多少。
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数学计算表明，如果还有很多人等待面试，那么你就不应该接受当前正在面试的那名申请者，即使她非常优秀，因为你有可能找到一个更优秀的人选。但是，随着可供选择的人数不断减少，你就应该做好准备，随时准备与优于平均水平的申请者确立雇佣关系。有一句我们都比较熟悉（尽管不是那么鼓舞人心）的话说得好：面对花哨的包装，还是降低你的期待吧。我们还可以找到另外一句话，用以说明与之相反的情况：天涯何处无芳草，何必单恋一枝花！重要的是，无论是哪种情况，数学都可以告诉我们临界点到底在哪儿。
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在这种情况下，最简单的方法是从后往前，反过来理解这些数字的含义。如果你一直面试到最后一名申请者，那么你就别无选择，只能接受他。如果你一直在观望，那么在面试倒数第二名申请者时你需要考虑的问题就变成了：他的分数是否高于50呢？如果是，就雇用她；如果不是，那么你可以考虑把宝押在最后一名申请者身上，因为她的分数高于50的可能性是50%。同理，如果倒数第三名申请者的高于69，倒数第四名的分数高于78，以此类推，那么你就应该立刻选择这名申请者。也就是说，剩余的申请者越多，在评判时就应该越挑剔。无论如何，你都不应该选择低于平均水平的申请者，除非你已经别无选择。（此外，既然你一定要在这些申请者当中挑出最优秀的，那么如果某名申请者不是目前为止最优秀的人选，就一定不要雇用他。）
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在这种全信息版本的秘书问题中，选中最优秀申请者的可能性是58%。这个概率远谈不上十拿九稳，但是已经大大优于无信息博弈中根据37%法则得到的37%的成功率。如果你掌握了所有信息，那么即使申请人数非常多，你多半也会取得成功。
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全信息秘书问题中的最优停止阈值
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因此，全信息博弈往往会产生令人意想不到，有时甚至会让人感到奇怪的结果。如果追求的目标是金钱，而不是爱情，则成功的可能性更高。在根据某种客观标准（例如收入排名情况）评判合作伙伴时，可供使用的信息比较多。如果评判标准是模糊不清的情感反应（“爱情”），则可能需要我们根据经验以及比较结果不断做出调整，同时可供使用的信息也相对较少。
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当然，选择对象的“资产净值”与我们权衡的标准不一定一致。任何标准，只要可以全面反映申请者与其他人对比的情况，就会导致我们弃用摸清情况再行动准则，转而采用阈值准则，同时我们成功找出最优秀申请者的可能性也会大大增加。
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此外，人们还经常修改秘书问题的其他前提条件，使之与现实生活中寻觅爱情（或挑选秘书）等难题更为相似，结果形成了更多的秘书问题变种。不过，最优停止问题给我们的启发不仅限于约会与招聘这两个方面。事实上，在租房子、找停车位、见好就收的时机选择等问题中，我们同样需要面对一个又一个的可选方案，做出最有利的选择。从一定程度上说，这些问题已经得到了解决。
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