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事实上，基廷斯指数并不仅仅是一个效果不错的近似估计，还可以彻底解决回报按几何级数贴现的多臂老虎机问题。探索和利用之间的矛盾可以被转化成一个比较简单的任务：用一个数量使两者达成平衡并求这个数量的最大值。在说到自己的成就时，基廷斯非常谦虚，笑着说道：“这又不是费马大定理。”但是，他的这个定理让一大堆涉及探索与利用这个两难选择的问题得到了解决。
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不过，即使知道以往的记录和贴现率，特定机器基廷斯指数的计算仍然非常复杂。但是，一旦我们知道某些特定条件下的基廷斯指数，我们就可以利用这些指数解决相同形式的任何问题。重要的是，由于每个拉把的基廷斯指数都是独立计算出来的，因此涉及的拉把个数不会产生任何影响。
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下表给出了0~9次输赢所对应的基廷斯指数值，条件是回报以90%的比例递减。利用这些数值，可以解决日常生活中的多种多臂老虎机问题。例如，在这些条件下，你应该选择以往记录为1-1（即期望值为50%）的那台老虎机，而不选择记录为9-6（即期望值为60%）的那台机器。在下表中查询这两台机器对应的坐标就可以发现，了解得不多的那台机器的基廷斯指数为0.6346，而玩得比较多的那台机器得分仅为0.6300。问题解决了：这一次可以碰碰运气，大胆探索。
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仔细观察表中的基廷斯指数，就会发现一些有意思的东西。首先，你会发现赢就留下这个原则在发挥作用：任选一排，从左向右看去，就会发现指数值一定在增长。如果在某个时候某个拉把是你的正确选择，而且你拉下那个拉把之后真的赢钱了，那么再次选择这个拉把就是一个明智的决定（沿着图表自左至右）。其次，你可以看出在什么情况下输就离开这个原则会误导你。先赢9次，然后输钱1次，对应的基廷斯指数为0.8695，仍然比表中的大多数指数高，因此你不要急于离开，至少再拉一次这个拉把。
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表2-1 基廷斯指数值与输赢的关系
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注：在回报以90%的比例递减时的情况。
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但是，该表最有意思的地方是左上角的那一格。0-0这个记录（表明我们对这个拉把一无所知）所对应的期望值是0.5000，但是基廷斯指数是0.7029。换句话说，一台你从来没有玩过的机器，比你玩了10次，其中有7次赢钱的机器更有吸引力！沿着对角线向右下方前进，就会发现1-1这个记录对应的指数是0.6346，记录2-2对应的是0.6010，等等。如果这个50%的赢钱率一直保持下去，基廷斯指数最终会驱近于0.5000，而经验证明，这台机器的确没有任何特别的地方，它最终会收走那些刺激我们进一步探索的“奖金”。但是，收敛过程进展非常缓慢，探索奖励的刺激作用非常大。的确，我们可以看到，即使第一次拉下拉把后输了钱，0-1这个记录所对应的基廷斯指数仍然高于50%。
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我们还可以看出改变贴现率后探索与利用会发生什么样的变化。下表列出的内容与前表相同，不过条件是回报递减的比例不是90%，而是99%。在未来与现在的权重几乎相同时，相对于十拿九稳的事情而言，偶然发现的价值上升得更快。从这张表可以看出，从未测试过、记录为0-0的机器可以确保有86.99%的赢钱概率！
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由此可见，基廷斯指数以一种正式、严谨的形式，证明了在有机会对探索结果加以利用时，我们应该倾向于选择未知的新事物。有一句古老的谚语说：“邻家芳草绿。”数学可以告诉我们其中的道理。尽管我们实际上认为未知事物可能差不多，甚至有可能更差，但是它也有可能更好。球队新球员没有经过检验，但是他的价值却高于能力似乎差不多的老手（至少在赛季初如此），原因正是我们对他知之甚少。探索行为本身就有价值，因为尝试新鲜事物可以增加我们发现最佳选择的机会。因此，不仅关注当前，同时还把未来纳入我们视野的做法，可以驱动我们不断尝试新鲜事物。
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表2-2 基廷斯指数值与输赢的关系
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注：在回报以99%的比例递减时的情况。
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因此，基廷斯指数为我们指出了一个轻而易举地解决多臂老虎机问题的方法。但是，这并不是说这个难题已经彻底得到解决，也不意味着基廷斯指数可以帮助我们处理日常生活中所有探索与利用的取舍问题。原因之一是基廷斯指数只有在某些强假设条件下才是最优策略。各种各样的行为经济学与行为心理学实验都不建议人们对未来奖励实行几何贴现（即每次拉动拉把的价值都是上一次的分数倍）的做法。此外，如果不同方案之间的转换需要付出成本，那么基廷斯指数就不再是最有效的策略。（邻居家的草地看起来可能真的更绿一些，但这并不是我们翻过篱笆的理由，更不用说通过二次抵押贷款把邻居家的房子买下来了。）更重要的是，在匆忙之间很难计算出基廷斯指数。如果随身携带一张指数表，你可以找到晚餐的最佳选择，但是你得到的好处可能还不足以弥补你需要付出的时间和精力。（“等一等，我可以解决这个问题。这家餐厅的好评率是29/35，另一家的好评是13/16，因此它们的基廷斯指数分别是……嘿，人呢？”）
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正是因为考虑到这些因素，从基廷斯指数被提出之日起，计算机科学家和统计学家就已经在寻找可以更方便、更灵活地解决多臂老虎机问题的方法。这些新的策略不仅可以比较好地满足需要，而且人（及机器）在一系列情境下应用这些方法时，难度比用基廷斯指数计算最优方案小。同时，它们还可以用来解决最令人害怕的一类问题，帮助我们在面对机会时做出正确的选择。
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[1]尽管基廷斯指数有效，但还是远离赌场为妙。
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算法之美：指导工作与生活的算法 [:1700494116]
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算法之美：指导工作与生活的算法 遗憾与乐观
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弗兰克·辛纳屈
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遗憾？我曾经有过，但是算不上太多，不值得一提。
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温斯顿·丘吉尔
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我本人是个乐观主义者，因为不乐观的话，似乎也于事无补。
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如果你认为基廷斯指数太复杂，或者你所处的情况并没有表现出几何贴现的特征，那么你还有另一个选择——关注遗憾。当我们选择吃饭地点、伙伴或者居住城市时，遗憾常常会笼罩在我们心头——面对一堆好的可选方案，结果却做出了一个错误的选择，我们往往难以原谅自己。令我们遗憾不已的常常是我们没有做的事情，或者是从来没有尝试过的选择方案。用管理理论学家切斯特·巴纳德的话来说就是：“尝试后即使遭遇失败，也至少是一个学习的过程；如果不去尝试，就会与机会失之交臂，造成无可估量的损失。”
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