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图1-7 物体在液体中受到的浮力
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完整的故事是这样的。相传叙拉古赫农王（King Hieron）让工匠替他做了一顶纯金的王冠，当然，黄金都是叙拉古赫农王作为材料交给工匠的。金冠做好后，虽然质量与叙拉古赫农王当初交给工匠的相同，但叙拉古赫农王还是心下狐疑——他怀疑工匠私吞黄金，在金冠里掺了假。叙拉古赫农王希望能有一个方法来检验金冠是否是纯金的，但又不想破坏王冠。最后，决定请阿基米德来检验皇冠的纯度。
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最初，阿基米德对这个问题也是无计可施。直到有一天，他在家洗澡，当坐进澡盆时，看到水往外溢，突然想到可以用测定固体在水中排水量的办法来确定金冠的体积。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不上穿就跑了出去，大喊：“尤里卡！尤里卡！”（ερηκα，意思是“找到了”。）
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经过进一步实验，阿基米德来到王宫。他把王冠和同等质量的纯金分别放在两个盛满水的盆子里，比较两个盆子里溢出来的水，发现放王冠的盆子里溢出来的水比另一个盆子多。这就说明，王冠的体积比相同质量的纯金的体积大，也就是说，王冠的密度比纯金小，证明王冠里掺进了其他金属。
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m=ρv
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m是质量，ρ是密度，v是体积。m一定的时候，ρ和v成反比。
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这次实验的意义远大于给私吞黄金的人定罪。阿基米德从中发现了浮力定律（也叫阿基米德原理），即物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的质量，也就是广为人知的排水法。直到现在，中学物理课本的力学部分还有关于浮力计算的课程，这都归功于阿基米德的重要发现。
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当然，阿基米德作为哲学家、数学家、物理学家，贡献远远不只是发现阿基米德原理。著名的杠杆原理也是他发现的（如图1-8所示）。
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图1-8 杠杆原理
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F1×L1=F2×L2
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F1是杠杆一侧的受力大小，L1是与F1同侧的杠杆长度；F2是杠杆另一侧的受力大小，L2是与F2同侧的杠杆长度。
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伴随着这个伟大的原理，还有一个让人如雷贯耳的句子：“给我一个支点，我可以撬起地球。”这是阿基米德在发现杠杆原理后，在极为激动的情况下给叙拉古国王希伦（Heron）写信时写下的一句“豪言壮语”（如图1-9所示）。其实，仔细想想就会知道，即使是在科技昌明的今天，要想实现这句话所描述的情景也仅有理论上的可能。地球的质量约为6×1024千克，假设一个人所能产生的推力是100千克(6)（力气已经不算小了），那么杠杆两侧的长度比应该是6×1022比1。也就是说，即使在地球这一侧杠杆仅为1米长，在阿基米德那一侧也需要一根6×1022米长的杠杆才行。从支点移动到杠杆的边缘去撬动杠杆，即便用光速(7)前往，也需要约2×1014秒，也就是约6341958年的时间。所以，说这是一句颇具浪漫主义风格的“豪言壮语”绝非对阿基米德的诋毁。不过，没有人会从文学角度用这句话跟一位2000多年前的科学家较真，因为我们从中获得的精神鼓舞远比真正实现这个实验的受益大得多。
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图1-9 雕塑作品——阿基米德翘起地球
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除此之外，阿基米德还尝试使用穷竭法（逼近法）来解决曲面面积问题，也就是用内接和外切的直边图形不断地逼近曲边形的方法，例如求圆的面积——在阿基米德的《论球和圆柱》中有清楚的记载（如图1-10所示）。
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图1-10 多边形内接圆和外切圆
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可以用圆的内接三角形和外切三角形，内接四边形和外切四边形，内接五边形和外切五边形……一直向下分割。这样，内侧的多边形和外侧的多边形都能够用三角形组合的方式进行面积加和，而每种情况下，圆形的面积就在内外两个多边形的面积之间。
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Sinner＜ Sround＜ Souter
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然后，通过求Sinner和Souter的极限逼近Sround的值。这种思路在高等数学的“夹逼定理”(8)中也有体现，精妙至极！而且，这种方法还能根据公式
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S=πr2
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求出π的近似值。在丈量手段落后的2000多年前，欧洲已经有阿基米德这样的聪明人发明出如此精妙的办法来测量圆周率，不能不说是个创举。