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在这个小故事里，我们能得到的最清晰的一种示意就是：一个小小的事件，很可能由于某些巧合而放大，在一段时间以后产生一个看上去很重大的结果。我相信不少读者可能会觉得这个故事中有不少夸张之处，而且会对少几颗钉子就能导致一个帝国覆灭这样的故事是不是在捕捉巧合而忽略了背后更重要的原因存疑，例如我们平时说的“人心向背”、“生产力水平高低”等大趋势方面的问题。
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如何理解这些微小的“巧合”叠加所产生的“严重后果”呢？是否可以考虑用数学模型的方式去尝试去观察、量化或解释这些问题呢？这些“巧合”对未来的影响究竟有多大呢？这些恐怕才是混沌论这个学科最为关心的问题。
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数据科学家养成手册 10.1 洛伦兹在想什么
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美国著名的气象学家洛伦兹(2)（如图10-1所示）在1963年于麻省理工学院做长期天气预报研究的时候发现了一个现象。那段时间，他尝试对大气对流模型进行数值计算，并观察这个系统的演化过程。他将温度、湿度、压力等气象数据输入计算机，计算机会依据3个内建的微分方程计算出下一刻可能的气象数据，据此模拟绘制气象变化图。但是，在这个过程中发生了一件非常奇怪的事情：两次输入“相同”的数值，用曲线表示的计算结果竟然相差很远。刚开始，两次计算的结果吻合度还很高，但是慢慢地，两条曲线的距离越来越远，到最后甚至看不出两者有丝毫关系（如图10-2所示）。
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图10-1 气象学家洛伦兹
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图10-2 洛伦兹两次实验绘制的曲线不同
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对计算结果进行分析后，洛伦兹找到了原因。原来他在第1次计算中输入了一个参数，值为0.506127，而在第2次计算中输入的参数值为0.506——差别仅在这个地方。
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在中短期时间内，这个系统有着相对确定的规则行为，但是时间一长，在同一系统中会发生无规则的行为。换句话说，在大气对流模型建模的过程中，虽然考虑得很缜密，并且利用了电子计算机对数据进行快速、精确的计算，但仍旧无法在长时间周期里获得稳定的输出解——长期天气预报没有实现。在这个“系统”初始化的时刻，给定的参数即使只有很小的差别，也会在足够长的时间之后将系统的输出差距增加到没有任何联系的地步，而这个初始化的参数的精度不论多高，总会有误差存在，且一定会与理想的真实值有无法忽略的差。1963年，洛伦兹发表了一篇题为《确定性非周期流》(3)的论文，之后又连续发表了几篇著名的论文(4)，这些论文逐步形成了研究耗散系统混沌现象的经典文献。
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著名的“蝴蝶效应”就是混沌现象为大众所知的一种气象学体现。概括地说，这个词汇的含义就是“亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国德克萨斯州的一场龙卷风”。这种说法不是夸大其辞，尤其不是为了说明“一只蝴蝶翅膀偶尔震动”是“两周后美国德克萨斯州的一场龙卷风”的直接诱因，而是为了说明——某一微小因素在多轮叠加后会被放大，诱导产生一种与在这一微小因素不发生的情况下截然不同的结果。
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真的会这样吗？是的。混沌理论整体研究的就是这样一类事情，而且进行的是定量研究。
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数据科学家养成手册 10.2 罗伯特·梅的养鱼计划
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罗伯特·梅(5)（如图10-3所示），1938年出生于澳大利亚悉尼，科学家，涉猎很广，对理论生态学、人口动态、生物系统的复杂性和稳定性等问题有深入的研究，1973年之后研究完全转向生物学领域。
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图10-3 罗伯特·梅
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在对生物种群的个体数量进行研究的过程中，人们最初使用这样一种线性函数进行描述：
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这里的n和n-1表示相邻的两个观察周期或者生物代。这种思路就是：假设任意的生物种群，无论是大象、长颈鹿，还是鱼、虾、飞鸟等，都有一个自然的增长率。不过，这种假设很快就被人发现有着极大的局限性，因为这种增长可以说是一种无限制的增长。虽然这种模型假说附和了马尔萨斯有关“人口增长不受食物供给和道德约束限制”的“封口增长”理论，但这和我们观察到的现象大相径庭。
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