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1700507037 这种设计看上去确实很完美，不过遵循这种模型的研究很快就遇到了麻烦——罗伯特·梅在研究鱼类种群个体数量的时候碰到了问题（如图10-4所示）。

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1700507042 图10-4　鱼群个体数量混沌态示意图

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1700507044 从图10-4中可以清晰地看到：当k=0.8或者取更小的值时会发生衰减现象，不管初始状态的x1是多少，种群最终都会消亡；当k的值介于1到3之间时，会出现平衡态的效果，即种群中的个体数量会趋于一个定值；当k介于3到3.5之间时，会出现“双态平衡”的现象，也就是说，最终的种群中的个体数量会由于x1的不同而收敛到两个不同的值上去；当k取更大的值（例如k=3.8）时，则会出现完全不确定的收敛值，最终种群中的个体数量完全无法预测。

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1700507046 这种现象就是生物种群个体数量研究领域出现的混沌现象。感兴趣的读者可以用Excel来模拟这个过程，你会观测到和罗伯特·梅一样的现象。

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1700507048 为什么会产生这种现象？在其他领域也会产生这种现象吗？我们很快就会知道答案。

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1700507053 数据科学家养成手册 [:1700503572]

1700507054 数据科学家养成手册 10.3　有限的大脑，无限的维

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1700507056 在人类通过数学建模研究客观世界的过程中，任何一个时代都有才华横溢的科学家向世人展示着他们的技巧。

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1700507058 不管是在古希腊时期还是在今天，这些科学家在建模的时候无一例外，都要不断对观测对象进行测量和归纳，将观测到的数值进行整理，并用一系列的公式描述它们之间的关系。世界是怎么被创造出来的并不重要，反正人类只能根据当前的认知能力来进行归纳和推测。对于人类有限的大脑来说，能做的只是让自己描述的模型和观察到的现象的差距尽可能小。真正无穷精确的模型是永远不可能得到的。

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1700507060 对于“不变”的数值，研究起来相对比较容易。例如，《几何原本》中研究的都是固定的几何形状的量的关系，任何因素在其中都没有迭代的影响，所以当一部分因素确定后，其他因素同样会确定下来。对于变化的量，描述方式就相对复杂一些。在3.2.3节我们已经介绍了在连续变化的模型中使用微分方程组进行描述并求解的实例，而在一些观测结果呈现离散特性的模型中，会使用基于数列前后关系描述的模型。

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