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这就是用万有引力公式推导过来的，没什么稀奇。其中，mi是质点Qi的质量，mj是天体质点Qj的质量，rij是质点Qi和质点Qj的距离，rj和ri分别是质点Qj和Qi的矢量坐标，G是万有引力常数，n是天体质点数量。
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3个质点就有3个Fij的表达式，每个Fij作用在其对应的天体质点Qi上，会产生一个关于下一时刻位移的表达式，这个表达式最终分解到x、y、z这3个坐标轴上。那么，对于天体质点Qi，会得到如下3个联立的表达式：
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3个质点，共有9个微分方程。
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二体问题早在牛顿时代就已被完满解决，三体问题至今仍悬而未决，且一直是人们关注的焦点。9个微分方程要想得到解析解，简直让人绞尽脑汁。庞加莱将此问题先简化成所谓“限制性三体问题”（如图10-11所示）。
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图10-11 限制性三体问题
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限制性三体问题是三体问题的特殊情况。当所讨论的3个天体中有1个天体的质量与其他2个天体的质量相比小到可以忽略时，这样的三体问题就称为限制性三体问题。首先，我们把小天体的质量m3看成无限小，就可以不考虑它对2个大天体的作用。这样，2个大天体便按照开普勒定律(10)，绕着它们的质量中心做稳定的椭圆运动（不考虑抛物线和双曲线的情形）。然后，我们再来考虑在小天体的质量m3有限时，在2个大天体m1和m2的重力场中的运动。也就是说，将小天体对大天体的作用忽略不计，只考虑大天体对小天体的引力。如此简化，原来的9个微分方程组变成了只有3个变量的微分方程组。航天科学家常用限制性三体问题，研究在月球、地球引力的作用下，人造卫星、火箭及各种飞行器的运动规律。
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不过，即使简化成3个微分方程，只有3个变量，也仍然无法求出精确解。庞加莱意识到，要解决问题，必须想出新的办法，不能“在一棵树上吊死”。既然无法求出精确解，那就放弃寻找精确解，开始定性地研究解的性质。庞加莱运用渐近展开与积分不变性的方法，定性研究小尘埃的轨道（如图10-12所示）。他深入研究小尘埃在所谓“同宿轨道”和“异宿轨道”附近的行为，但一直没有得到令他满意的结果，最后不得不在1888年5月，即瑞典国王奥斯卡二世悬赏求解N体问题的比赛截稿之前提交了他的论文。
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图10-12 小尘埃的轨道
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奥斯卡二世悬赏的评审团成员包括当时3位鼎鼎有名的数学家：法国数学家查尔斯·赫米特(11)，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(12)和他的学生——瑞典数学家米塔-列夫勒(13)。尽管庞加莱没有完全满足奥斯卡二世悬赏的要求，没有解决N体问题，但他160页的论文仍然令评审团的3位数学巨匠兴奋无比。他们认为，庞加莱对三体问题的研究取得了重大突破，太阳系的相对稳定得到了确认。维尔斯特拉斯在给米塔-列夫勒的信中写道：“请告诉您的国王，这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。因此，陛下预期的公开竞赛的目的，可以认为已经达到了。”奥斯卡二世也高兴地把“奥斯卡奖”——2500瑞典克朗和一枚金质奖章授予了庞加莱。
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1889年冬天，评审团准备将庞加莱的论文在数学杂志上发表。文章已经印好，而且送到了当时最有名的一些数学家那里。就在这时，负责校对的一位年轻数学家发现文章中有一些地方的证明不够清楚，建议庞加莱补充一段解释。于是，庞加莱开始重新深入研究这一部分。
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庞加莱发现，越是深入研究小尘埃的轨道在奇点附近的性质形态，问题就越多。情况有些类似80多年后MIT的气象学家洛伦茨（10.1节提到过）面对的困境。当然，庞加莱不如洛伦茨幸运，没有条件在计算机屏幕上显示奇异吸引子的曲线。但是，庞加莱却以他超乎常人的思维和想象能力在自己的头脑中构造出了限制性三体问题的某些奇特解的雏形。从解的奇特行为中，庞加莱看到了当今人们所说的“混沌现象”。但局限于当时的经典世界观，他未能完全理解得到的结果，只能带着迷惑感叹：“无法画出来的图形的复杂性令我震惊！”
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庞加莱意识到，既然解的图形复杂得无法画出来，那么在原来的论文中，不仅包含像那个校对论文的年轻数学家所说的那种“证明不够清楚”的小问题，甚至可能包含“错误”。于是，他赶快通知米塔-列夫勒，收回已经印好的杂志并予以销毁，同时大刀阔斧地修改和赶写论文。直到第二年，1890年10月，庞加莱长达270页的新版论文才发表出来。
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庞加莱庆幸对论文做了这一重要的修正。而且，正是这个“错误”，使庞加莱重新研究和思考方程的解的状况，改正了一个稳定性定理，并最终使他发现了同宿交错网。
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庞加莱发现，即使是对简化了的限制性三体问题，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态也会非常复杂，以至于对给定的初始条件，几乎没有办法预测当时间趋于无穷时这个轨道的最终命运。而这种对轨道的长时间行为的不确定性，就是我们现在所说的混沌现象。
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混沌现象的产生原因是：在解析解无法给出的情况下在迭代中使用数值解，并由于数值解精确程度的问题产生的求解收敛到不一致的值的问题。只要使用迭代的方式建模，并使用精度有限的数值作为初始值，这种现象就无法避免。直到今天，这个问题也是科学家们热衷研究的一类问题。
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数据科学家养成手册 10.6 未知居然还能做预测
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说了这么多，大概会勾起许多人的悲观情绪。混沌既然是一种客观现象，而且人类到现在都无法克服它，是不是意味着不能做预测了呢？
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实际上，有这种情绪的人放大了混沌对预测的影响范围。要知道，在认知归纳的过程中，只要人们把足够多的因素放到模型中，经过相对精确的测算，进行相对短时间内的预测还是比较现实的。