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图10-2 洛伦兹两次实验绘制的曲线不同
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对计算结果进行分析后，洛伦兹找到了原因。原来他在第1次计算中输入了一个参数，值为0.506127，而在第2次计算中输入的参数值为0.506——差别仅在这个地方。
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在中短期时间内，这个系统有着相对确定的规则行为，但是时间一长，在同一系统中会发生无规则的行为。换句话说，在大气对流模型建模的过程中，虽然考虑得很缜密，并且利用了电子计算机对数据进行快速、精确的计算，但仍旧无法在长时间周期里获得稳定的输出解——长期天气预报没有实现。在这个“系统”初始化的时刻，给定的参数即使只有很小的差别，也会在足够长的时间之后将系统的输出差距增加到没有任何联系的地步，而这个初始化的参数的精度不论多高，总会有误差存在，且一定会与理想的真实值有无法忽略的差。1963年，洛伦兹发表了一篇题为《确定性非周期流》(3)的论文，之后又连续发表了几篇著名的论文(4)，这些论文逐步形成了研究耗散系统混沌现象的经典文献。
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著名的“蝴蝶效应”就是混沌现象为大众所知的一种气象学体现。概括地说，这个词汇的含义就是“亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国德克萨斯州的一场龙卷风”。这种说法不是夸大其辞，尤其不是为了说明“一只蝴蝶翅膀偶尔震动”是“两周后美国德克萨斯州的一场龙卷风”的直接诱因，而是为了说明——某一微小因素在多轮叠加后会被放大，诱导产生一种与在这一微小因素不发生的情况下截然不同的结果。
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真的会这样吗？是的。混沌理论整体研究的就是这样一类事情，而且进行的是定量研究。
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数据科学家养成手册 10.2 罗伯特·梅的养鱼计划
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罗伯特·梅(5)（如图10-3所示），1938年出生于澳大利亚悉尼，科学家，涉猎很广，对理论生态学、人口动态、生物系统的复杂性和稳定性等问题有深入的研究，1973年之后研究完全转向生物学领域。
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图10-3 罗伯特·梅
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在对生物种群的个体数量进行研究的过程中，人们最初使用这样一种线性函数进行描述：
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这里的n和n-1表示相邻的两个观察周期或者生物代。这种思路就是：假设任意的生物种群，无论是大象、长颈鹿，还是鱼、虾、飞鸟等，都有一个自然的增长率。不过，这种假设很快就被人发现有着极大的局限性，因为这种增长可以说是一种无限制的增长。虽然这种模型假说附和了马尔萨斯有关“人口增长不受食物供给和道德约束限制”的“封口增长”理论，但这和我们观察到的现象大相径庭。
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罗伯特·梅及其前人在研究中发现，用一种变形后的公式来描述比较符合生物界的常识。
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这个模型弥补了线性模型假设中的瑕疵：当种群数中的个体数量较小的时候，食物供应量非常充足，种群中的个体数量就会增加；当种群中的个体数量非常大的时候，食物供应量会不足，种群中的个体数量就会减少。
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这种设计看上去确实很完美，不过遵循这种模型的研究很快就遇到了麻烦——罗伯特·梅在研究鱼类种群个体数量的时候碰到了问题（如图10-4所示）。
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图10-4 鱼群个体数量混沌态示意图
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从图10-4中可以清晰地看到：当k=0.8或者取更小的值时会发生衰减现象，不管初始状态的x1是多少，种群最终都会消亡；当k的值介于1到3之间时，会出现平衡态的效果，即种群中的个体数量会趋于一个定值；当k介于3到3.5之间时，会出现“双态平衡”的现象，也就是说，最终的种群中的个体数量会由于x1的不同而收敛到两个不同的值上去；当k取更大的值（例如k=3.8）时，则会出现完全不确定的收敛值，最终种群中的个体数量完全无法预测。
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这种现象就是生物种群个体数量研究领域出现的混沌现象。感兴趣的读者可以用Excel来模拟这个过程，你会观测到和罗伯特·梅一样的现象。
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为什么会产生这种现象？在其他领域也会产生这种现象吗？我们很快就会知道答案。
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