1700511204
3p2(1-p)
1700511205
1700511206
其中，同时满足第1枚命中、第2枚命中、第3枚未命中的概率为p2(1-p)；同时满足第1枚命中、第2枚未命中、第3枚命中的概率为p2(1-p)；同时满足第1枚未命中、第2枚命中、第3枚命中的概率为p2(1-p)。3p2(1-p)由这3种情况的概率相加而得。
1700511207
1700511208
命中1艘商船的概率为
1700511209
1700511210
3p(1-p)2
1700511211
1700511212
其中，同时满足第1枚命中、第2枚未命中、第3枚未命中的概率为p(1-p)2；同时满足第1枚未命中、第2枚命中、第3枚未命中的概率为p(1-p)2；同时满足第1枚未命中、第2枚未命中、第3枚命中的概率为p(1-p)2。3p(1-p)2由这3种情况的概率相加而得。
1700511213
1700511214
命中0艘商船的概率为
1700511215
1700511216
(1-p)3
1700511217
1700511218
……
1700511219
1700511220
这样一个一个排下去。为了统计方便，我们做一个表格来看一下（如表18-2所示）。
1700511221
1700511222
表18-2 5枚鱼雷遭遇5艘商船组成的编队
1700511223
1700511224
1700511225
1700511226
1700511227
展开到5层，看得就比较清楚了，纵列表示发射的鱼雷数，横列表示击沉船只的概率，其中的规律也非常明显，系数是一个典型的贾宪三角。如图18-29所示，14枚鱼雷遭遇14艘船只（也就是盟军舰船充足）的情况下，不会出现鱼雷没有打完时商船全部沉没的情况。
1700511228
1700511229
关于二战时期德国鱼雷的命中率问题，我查了很多相关资料，但没有得到比较可靠的数据，只是在和军事发烧友讨论的过程中听到了一些相对信服人数比较多的数据——大约30％。在找到更权威的数据之前，将p=30％代入看看。
1700511230
1700511231
可以看到，在命中率为30％的前提下，14艘舰船的编队被搭载14枚鱼雷的U型潜艇“团灭”的概率只有4.78 ×10-8，这是一个几乎可以视为0的数字了。而平均每次（数学期望）将14枚鱼雷射出，击沉的舰船数量仅为1.48艘（这与Blackett的估算值有差异，产生差异的原因应该是p的取值不同），概率最大的情况是击沉7艘舰船，只占7％左右。从数学计算上来看，这种情形已经非常理想了。如果14艘舰船分成14个单独的编队，那么每条船被击沉的概率可是要乘以14的。
1700511232
1700511233
1700511234
1700511235
1700511236
图18-29 命中率为30％的情况
1700511237
1700511238
即使击沉概率p上升到50％（对于鱼雷来说这个命中率已经非常高了），整个方案也会输出一个不太坏的值（如图18-30所示），“团灭”的概率只有6.10 ×10-5，每次（数学期望）将14枚鱼雷射出，击沉的盟军舰船的平均数量也不过为3.75艘。
1700511239
1700511240
1700511241
而我们刚刚讨论过，大编队的好处是让U型潜艇碰到盟军舰船的概率降低。理论上，编队越大，“收益”越好。在刚刚这个例子中，14艘舰船组成一个编队被发现的概率是14艘舰船每艘单独编队被发现的概率的（也就是原来被发现概率的大约7.1％）。
1700511242
1700511243
1700511244
1700511245
1700511246
图18-30 命中率为50％的情况
1700511247
1700511248
在采纳这项建议后，盟军的很多商船先在飞机和军舰能够保护的近海范围内集结，集体通过相对危险的海域，在到达距离不列颠岛比较近的海域后分散开来，向各自的目标港口驶去，盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％下降为1％，大大降低了损失。
1700511249
1700511250
1943年以后，盟军的飞机和护航舰船的反潜能力由于声呐和雷达技术的改进而获得了很大提升，大量的飞机和军舰也投入到护航和反潜的任务中，盟军在北大西洋的舰船损失降低了65％，北大西洋上的盟军优势完全不可逆转。而到了1944年，只有200艘舰船被击沉。第二次世界大战期间，德国的1188艘潜艇击沉了3500艘舰船，造成45000人死亡。到战争结束时，有781艘德国潜艇被盟军击沉。
1700511251
1700511252
数据科学家养成手册 [:1700503694]
1700511253
18.2.3 数学家的天下