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这就表明，如果我们按照2：1：2的比例给各网站分配球，会看到这个权重比例是稳定的。用之前9轮分配的例子中得到的数据也可以验证这一结论，各网站拥有的球的比例总是约等于2：1：2。
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矩阵的特征向量是在数学和其他科学领域中非常有效的一种工具，是量子物理中用来计算粒子能级的秘密武器，可以用于研究旋转流体的稳定性（比如旋转的恒星或者病毒的繁殖率），甚至可以用于研究素数在所有数字中是怎样分布的问题。
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通过计算网络连通性的特征向量，我们发现网站A和网站C的排名应该是相同的。虽然网站A只连接到一个网站（网站C），但由于网站C的权值较高，它会赋予网站A较高的权值。
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这是算法的核心基础，但需要加入一些额外的细节处理才能使其充分发挥作用。例如，该算法可能需要考虑一些异常情况：如果存在未链接其他网站的孤立网站，它的球会无法重新分配。
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尽管基础引擎是公开的，但算法内部的一些重要参数还是保密的，并且随着时间的推移不断发展变化、更新换代，这些在一定程度上使得算法难以被破解。谷歌算法最吸引人的地方在于它本身的健壮性和防止欺骗的策略——一个网站很难在自己的网站上做手脚来提高排名，它必须依靠其他网站来提升自己的排名。
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如果你关注一下谷歌搜索，就会发现排名很靠前的网站主要都是新闻媒体网站和大学官方网站，比如牛津大学、哈佛大学的官网。许多外部网站都会链接到大学网站上的研究资料及观点页面，这正是由于这些大学的研究成果受到了世界各地许多人的关注。
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当牛津大学网络中的任何一个网站链接到外部网站时，该链接将提升其所链接的外部网站的排名，这意味着牛津大学认可与该网站共享其巨大的声望。这也就是为什么我经常会被其他人要求，让我把在牛津数学系的网站链接到外部网站。这么做有助于提高外部网站的排名，毕竟能够在谷歌搜索排名登顶是每一个网站的终极“圣杯”。
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谷歌的算法再强大，也不可避免地被那些了解数学原理的人用更加聪明的办法攻击并加以利用。在2018年夏天的某段时间里，如果你在谷歌上搜索“白痴”（idiot），首先弹出的便是唐纳德·特朗普（Donald Trump）的照片。一些激进分子知道怎样利用Reddit[1] 在互联网的巨大影响力：他们在网上发布一个包含“白痴”这个关键词和特朗普照片的帖子让大家投票，两者的组合很快就登上了谷歌搜索的首位。但随着时间的推移，这些另类的搜索结果的峰值会通过算法本身而不是人工干预进行降级，并被算法慢慢剔除。谷歌不喜欢扮演“上帝”，但从长远来看，它相信的是数学的力量。
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互联网就像一头会变身的妖兽，瞬息万变，每一纳秒就会有一个新网站诞生。随着网站的关闭和更新，新的链接关系也在不断地生成、变化，这意味着网站页面的搜索优先级需要动态调整。为了让谷歌跟上互联网不断发展的步伐，他们会使用一个有着相当可爱名字的工具，定期在互联网上搜罗网站信息并更新网站链接的统计点击量，这个工具叫作“谷歌蜘蛛侠”（Google spiders）。
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技术控和体育教练发现，这种评估网络节点的方法也可以应用于其他“类网络”领域，尤其是足球。当评估对手时，评估对手的关键球员非常重要，因为他会控制整个球队的打法或者成为比赛的焦点。如果在比赛初期就能找到这名球员，并对他的发挥进行有效的遏制，那么在战略上就能冻结对手整个球队的战斗力。
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来自伦敦的两位数学家哈维尔·洛佩斯·佩纳（Javier López Pena）和雨果·杜塞特（Hugo Touchette）都是狂热的足球迷，他们决定研究一下，看看谷歌的算法是否有助于分析世界杯参赛球队的情况。他们是这样考虑的：如果把每位球员看作一个网站，一个球员给另一个球员传球就好比一个网站链接另一个网站，那么比赛中的传球路线就可以被视为一个网络；传球给队友是信任那个球员的标志，因为球员通常会避免传球给一个容易丢球的“笨”队友；一个不会积极跑动、有效控球的球员是很难拿到球的，所以只有有能力控球的人才会有人给他传球。
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因此，他们决定使用国际足联在2010年世界杯期间提供的传球数据来分析球员实力排名。当对英格兰队的比赛进行分析时，他们发现史蒂文·杰拉德（Steven Gerrard）和弗兰克·兰帕德（Frank Lampard）两位球员的数据明显高于其他人。这反映出一个情况：足球会频繁传给这两位中场球员，遏制他们在场上的发挥极有可能使英格兰队输球。最终，英格兰队在世界杯中确实没有走太远，复赛就被老对手德国队淘汰了。
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以最终胜者西班牙队的数据来说，经过算法统计分析，西班牙队中没有明显的核心球员，这反映了整个球队很好地贯彻了“全攻全守”“快速短传”的战术思想，这最终促成了西班牙队走上冠军领奖台。
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与美国许多依靠数据分析发展起来的体育项目不同，足球需要经过一段时间的积累才能利用数学和数据统计挖掘比赛背后隐藏的规律。但是到了2018年俄罗斯世界杯，许多球队都聘请了科学家在幕后提供技术支持——通过分析数据来了解对手的优势和弱点，这其中就包括对每支球队中传球依赖度的分析。
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网络分析还应用于文学领域。安德鲁·贝弗里奇（Andrew Beveridge）和单杰（Jie Shan）用一套名为“网络科学”的方法分析了乔治·雷蒙德·理查德·马丁（George R.R.Martin）的史诗奇幻巨著《冰与火之歌》[2] （Song of Ice and Fire）。了解该故事剧情的人都知道，想要预测哪些角色会在剧本下一卷中出现不太容易，因为马丁先生会为了剧情需要，不惜“写死”哪怕是剧中最好的角色。
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贝弗里奇和单杰决定在书中的人物之间建立一个网络。他们选定了剧中107个关键人物作为网络中的节点，然后根据关系重要程度为人物节点之间的连接线赋予权值。但算法如何评估节点间连接的重要性呢？该算法只是简单地计算剧情中两个人物名字在连续的15个单词内出现的次数。这并不是在衡量人物之间的友谊，而是在衡量他们之间的互动或联系频度。
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他们选定这个系列的第三卷《冰雨的风暴》（A Storm of Sword）进行分析，因为剧情发展到这里也就基本稳定了。首先，他们对网络中的节点（或者说角色）进行了排名分析，三个角色很快脱颖而出，他们分别是提利昂（Tyrion）、琼恩·雪诺（Jon Snow）和珊莎·史塔克（Sansa Stark）。读过这本书或看过该系列电视作品的观众都不会对这个发现感到意外，但令人惊奇的是，一个不理解剧本内容的计算机算法也能分析出跟人相同的结论。这不是简单地计算某个角色名字出现的次数就能评估的，如果只是简单的这样做，会有其他人物的名字出现在排名中。事实证明，算法对于这个剧情网络更加微妙的分析揭示出了剧中真正的主角。
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随着剧情的发展，第三卷中的一些关键人物都被“写死”了，但这三个角色都在马丁的笔下幸存了下来。这就是一个优秀的算法存在的价值：从足球到《权力的游戏》，它在多种不同的应用场景中都能发挥作用。
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[1] 一家社交新闻网站，其口号是“提前于新闻发声，来自互联网的声音”。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学，幸福婚姻的秘诀
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谢尔盖·布林和拉里·佩奇也许已经破解了引导你进入甚至连你自己都不知道自己要寻找的网站的秘法，但算法真的能帮助你找到灵魂伴侣吗？当你访问OKCupid[1] 时，会看到一条带着些许骄傲情绪的标题——“我们用数学为你找到约会对象”。
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这些婚恋交友网站使用“匹配算法”对个人资料进行检索，并根据个人的喜好、性格特点等进行配对。它们似乎做得不错！从某种程度上讲，这些算法选择的结果会比我们自己去相亲的结果更好：最近发表在《美国国家科学院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences）的一项调查研究表明，以在2005～2012年结婚的1.9万人为研究对象，其中通过婚恋网站结识的伴侣相处得更幸福，婚姻也更稳定。
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1962年，由两位数学家大卫·盖尔（David Gale）和劳埃德·沙普利（Lloyd Shapley）共同提出了史上第一个获得诺贝尔奖的算法——他们使用了一个匹配算法来解决“稳定婚姻问题”。遗憾的是，盖尔于2008年去世，没能参加颁奖典礼。沙普利在2012年与经济学家埃尔文·罗斯（Alvin Roth）共同获得了这个奖项。罗斯认为，这个算法不仅对人际关系问题的研究具有重要意义，对一些社会问题，包括医疗资源和学校招生名额分配等，也具有重大价值。
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