1700516630
在这里我们看到了数学的第一要素：数字的概念。能够精确地计算出数字的意义对许多动物的生存至关重要，其会告诉动物在面对对手时，是该战斗还是逃走。通过对刚孵化的小鸡进行的复杂试验，证实了对数字认知的复杂能力是大脑固有的，与生俱来的：小鸡可以判断出5个比2个多，而比8个少。
1700516631
1700516632
但是，给这些数字命名并用符号表示是人类特有的能力。人类数学发展史的一部分是以一种“聪明的方法”识别并命名数字。古代玛雅人用点来表示数字，有多少就点多少点。但当数量变多的时候，这种方法就不是那么好用了，因为一眼看过去你很难区分到底是6个点还是5个点。所以，有人想出了一个“聪明的方法”：在4个点之间画一条线来表示5。就像外国电影中，囚犯在监狱的墙上画线计算日子一样。[1]
1700516633
1700516634
罗马人使用了一种新的计数体系，他们赋予了数字新的名字：Ⅹ代表10，C代表100，M代表1000。古埃及人则使用新的象形文字来表示数字末尾的零：马蹄形代表10，一卷绳子代表100，一株荷花代表1000……
1700516635
1700516636
但是，这些系统很快就失效了，因为我们使用的数字进入了数百万甚至数十亿的级别。每个新的巨大的数字都需要新的符号来表示。
1700516637
1700516638
玛雅人进行着复杂的天文学研究，他们需要大量的数字来记录大量的数据。他们想出了一个聪明的办法来解决罗马数字表达的问题，这就是我们今天用来记录巨大数字的系统。在我们的十进制系统中，数字的表达对应的是10的不同次方（幂）。以123为例，它表示有3个单元，1个100（102 ）和2个10（101 ）。不超过10的计数没有什么特别之处，我们可以用我们的手指计数到10。事实上，玛雅人使用的是二十进制，数字的表达对应的是20的不同次方（幂）。比如玛雅数字中的123，表示有3个单元，分别是1个400（202 ）、2个20（201 ）和3个1（200 ）。所以，它换算到十进制中对应的数字是443。
1700516639
1700516640
玛雅人并不是第一个想出用幂来表示数字这个聪明办法的，只不过其他文明使用了十进制或其他进制，而他们使用了二十进制。4000年前，古巴比伦人提出了独特的计数体系：他们没有采用玛雅人的二十进制，也没有采用我们现在使用的十进制，而是采用了六十进制，开创了一个新的体系。60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30整除，这种高可除性使它成了这个计数体系的基础，同时有利于进行高速有效的计算。
1700516641
1700516642
在实际应用中，计数体系的有效性、实用性、必要性等因素决定着它是否能够存在下去。六十进制的影响之一表现在今时今日我们记录时间的方式上：一小时是60分钟，一分钟是60秒。拿破仑曾经尝试让计量局使用十进制来计量时间，但很幸运的是，这种方法从未被真正大面积使用过。
1700516643
1700516644
在古巴比伦人留下的楔形文字泥板上，我们首次看到了数字与我们周围世界关系的数学分析。伴随着幼发拉底河沿岸城邦的发展，进行城市建设、征税、经商都需要数学作为计算的工具——更复杂的数学诞生了。出土的楔形文字泥板向我们展示了其官方的计划表，例如工人的数量、运河修建的工期、工程人工成本汇总，等等。这一时期的数学并没有什么特别有挑战性或有趣的地方，但很明显，它启发了一些运用数学的人去思考数学的其他可能性。
1700516645
1700516646
他们开始寻找一些简便的方法来帮助计算。从出土的泥板上我们发现了像我们所用的数学用表上的一些数据，例如数字的平方等。正因为有人发现了数字相乘与相加之间的关系，使得这些泥板成了比较大的数字相乘运算的辅助工具。例如这样一组代数关系：
1700516647
1700516648
1700516649
1700516650
1700516651
古巴比伦人意识到，他们可以利用他们的数学用表来便捷快速地算出A×B的答案。首先计算出A+B的值，然后查表得到（A+B）2 的值，再减去（A–B）2 的值，最后把得数除以4，就可以得到A×B的答案。这作为非常早期的算法，简直太让人兴奋了。这种算法将两个数字之间的相乘运算简化为相加运算，只要数字的大小不超过他们“泥板数学用表”的范围，使用它就可以很简便地得到答案。
1700516652
1700516653
虽然古巴比伦人以代数的方法来思考运用数字，但是他们并没有记录下为什么这种方法或算法总是能给出正确的答案，也就是说他们并没有将成果理论化，只是在运用而已。理论总是出现在实践之后。直到公元9世纪，巴格达智慧馆的波斯学者才发明了代数语言，上述方程才有可能被写下来，这时时间已经过去了几千年。智慧馆的图书馆长和天文台长，数学家、天文学家、“代数之父”花拉子密创立了代数这门学科，尽管最早使用代数的是古巴比伦人。
1700516654
1700516655
数字与数字之间的数学关系被更进一步有效地利用和加强，使得计算的速度得到大幅提升。这种数学上的进步对于商业和建筑业的发展有巨大的推动作用。从发现问题到解决问题，这个过程看似注重实用性，但如果仔细思考，实际上它更倾向于从实践走向理论，更像是古代数字的使用者对于数学理论的研究，而非体力劳动作者的所思所想。例如，有这样一个问题：某农民有一块面积为60个单位的田地，这块地的一边比另一边长7个单位，那么最短的边的长度是多少？
1700516656
1700516657
问题是我们不知道边的长度，怎么知道面积？对我来说，这更像一个填词游戏：出题人会对这个词进行相当复杂的描述，解题人需要正确补全信息才能解出这道题。对于上题，那条较短的边的长度我们设为X，那么较长的边的长度即为X+7，整块田地的面积为60，也就意味着两个边长的乘积为60。我们可以得到这样一个方程式：
1700516658
1700516659
X×（X+7）=60
1700516660
1700516661
或X2 +7X–60=0
1700516662
1700516663
像这样的一元二次的方程，学校里的学生必须要学习如何解。当然，你可以心中暗自不满：“古巴比伦人为什么要发明这东西？”但是，我们应要感谢他们发明了解开这个方程的方法。
1700516664
1700516665
对我的专业来说，这是一个重要的转折点。为何会有人想到这些问题并去思考怎样解决？在日常生活中并不会出现这样的问题，我们为什么还要求学生学习如何解这样的题？可能这个农民之前已经计算过面积并把它写下来了，但后来他忘记了边长到底有多长，但是为什么他会知道长边比短边长7个单位，而又不知道短边有多长呢？这一切都太刻意、太做作了，这从来就不是一个真正的实际问题。所以，我得出结论：这道数学题的出现仅仅是为了好玩！
1700516666
1700516667
我们的大脑非常享受解决问题找到答案时的快感，这种快感是多巴胺或肾上腺素带给我们的。可以这样说，生物学和化学在推动着数学的发展。现在我们知道，就算没有数学题让我们解决，只要打上一针，我们也可以感受到这样的快感。计算机不是生物体，它无法产生多巴胺和肾上腺素，所以它也无法体验这种快感。那么，它还会为了好玩这样的动机去解决数学问题吗？
1700516668
1700516669
诚然，我们可以围绕善于数学运算的人在进化上更具优势这个命题而争论。事实上，这也是我们为何仍坚持在学校教学生如何解一元二次方程的最佳理由。解决这样的数学题，需要严密的逻辑思维、对抽象的分析能力等，这些能力有机地结合起来才最终促成了解得答案这样的结果。这些能力投射在生活中就是解决实际问题的能力。
1700516670
1700516671
也许，解决一个数学难题带给我们生理上的快感是区分人类创造力和机器创造力的关键。计算机在构造上与大脑相似，我们或许可以创建一个由数字神经元组成的抽象网络，通过控制神经元之间的连接关系来模拟大脑的工作机制。但是，在这个系统中没有多巴胺和肾上腺素，计算机无法体会生物化学带来的生理上的快感。缺失了这种快感，计算机会缺乏创造性思维的动机和动力吗？
1700516672
1700516673
古巴比伦人的数学，是对特定的事例进行运算。他们发现的方法是用来解决某些特定的问题，他们只是发现了这样运算是正确的，但没有去解释为什么这些方法总是有效。直到几千年以后，数学才发展出证明这一概念。
1700516674
1700516675
[1] 中国人用画“正”字来计数“5”。——译者注
1700516676
1700516677
1700516678
1700516679