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在这一时期出现的故事中，人类不再乐于被奥林匹斯山的诸神摆布，开始对诸神的统治提出异议和挑战。苏格拉底这样说：“未经审视的生活不值得度过。”他一直致力于论证真理与被接受的意见之间的区别。索福克勒斯[3] （Sophocles）笔下的安提戈涅向她舅舅的暴政发起了挑战。阿里斯托芬[4] （Aristophanes）在他的喜剧中讽刺了政治家的绝对权力。
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这种对权威的挑战，向民主和以法律制度为基础的社会的转变，需要人们拥有逻辑论证的技能。城邦的发展给了公民在社会中发挥作用的机会，这就使人们需要拥有新的技能来参与辩论。那时，诡辩家会到各个城市给人们上修辞课。亚里士多德将修辞学定义为“在任何情况下能抓住说服对手机会的能力”。他阐明了一个公民需要具备什么样的素质，包括运用逻辑论证的能力和根据现有事实说服群众的技巧。
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社会的这种变革激发了人们提出巧妙的数学证明形式。逻辑给了人说服别人的力量，这使用逻辑论证来表达自己说服别人与数学证明同时发端。逻辑推理是如此强大，它使我们足以获得关于数字和几何的永恒真理：你可以证明每个数字都可以被唯一的一组质数分解；你可以证明质数是无穷多的；你可以证明在圆中，以圆的直径为边所得的所有三角形都是直角三角形。
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很多时候，你会对这些真理的存在有一种预感，它们基于对数学的运用。例如，把奇数按顺序相加，得到的结果总会是某个数的平方，如1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16。但这是一个真命题吗？古希腊人并不满足于发现奇数和平方数之间这种有趣的联系，他们想用逻辑推理的新工具来证明这是一个真命题。这就是利用逻辑推理来揭示数字运作的基本公理。
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自此，人们开始了伟大的数学之旅。《几何原本》为后世2000多年的数学家提出的证明奠定了基础，这些证明解释了数字和几何的奇妙而独特的运行方式。费马证明了当N为正整数且p为质数并大于N时，N的p次方除以p所得余数是N。欧拉证明了eπi +1=0—著名的“欧拉公式”[5] 。高斯证明了每个正整数都可以分解为3个三角数（他在发现的旁边写下“Eureka”）。此外，我的同事安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理。这些突破正是数学家工作的成果。数学家不是计算器，而是证明的构建者。
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因此，本书的核心问题是：为什么计算机不能成为费马、高斯和怀尔斯一样的存在。对计算机而言，在计算方面显然没有任何人可出其右，但它构建证明的能力又如何呢？证明可以转化为一系列的符号，并为一组符号与另一组符号之间的关系设置一个规则集。正如希尔伯特所讲的，你不需要知道符号的含义就能构建数学证明。这不正是让计算机参与证明的一个完美的设想吗？
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数学家选择一个已有的数学命题，采用一种可被执行的逻辑进行运算，这时就会产生一个由新的符号序列组成的新的数学命题。这个命题可能已经在数学证明的列表中出现过了，因为我们可能通过其他的路径得到了它。但即使如此，对于数学家或计算机来说，这仍然是一种从已发现的定理中寻求新定理的有效方法。这不正是数学所追求的目标吗？数学不仅仅是不停歇的计算。如果按下计算机的“开始”按钮，它就不停地输出通过运算、逻辑推理所得到的逻辑结果，那么它会不会让数学家集体下岗呢？
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在创造新的事物方面，创造力发挥着不可替代的作用。自上而下的编程模式，将驱使计算机发现新的数学定理。对于计算机来说，关键在于所造物的价值，但这种价值从何而来？价值的导向和判断全都从人类创造和使用的数学思维中来。一个计算机的算法怎样知晓什么样的数学发现可以刺激你产生多巴胺和肾上腺素，从而让你感到兴奋呢？
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对我这样的数学家来说，机器学习中出现的自下而上的新编程模式，在让我感到兴奋的同时也让我深深感受到了潜在的危机：哈萨比斯和他的同事们正在开发的算法，可以从过往的人类数学经验中学习如何区分令人激动的定理和无聊的定理，而这反过来又可能会引导机器产生一个新的价值定理。这个定理可能会让数学界震惊，就像AlphaGo在棋类游戏界产生的震撼效果一样。
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[1] 据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹（John Charles Fields）要求设立的国际性数学奖项，于1936年首次颁发，常被视为数学界的诺贝尔奖（诺贝尔奖本身未设数学奖）。菲尔兹奖每4年颁奖一次，在由国际数学联盟（IMU）主办的四年一度的国际数学家大会（ICM）上举行颁奖仪式，每次颁给2～4名有卓越贡献的年轻数学家。获奖者必须在该年元旦前未满40岁，每人将得到15 000加拿大元的奖金和金质奖章一枚。——译者注
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[2] 1862—1943，德国著名数学家，被称为“数学界的无冕之王”，是天才中的天才。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末至20世纪初数学界的一面旗帜。——译者注
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[3] 雅典三大悲剧作家之一。——译者注
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[4] 古希腊早期喜剧代表作家，生于雅典。他熟悉希腊文学和艺术，与同时代的哲学家、文学家交游甚广。他对后世喜剧影响甚大，被称为“喜剧之父”。——译者注
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[5] 欧拉公式是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里几个最重要的数字联系到了一起：两个超越数，自然对数的底e，圆周率π；两个单位，虚数单位i和自然数的单位1；被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 第10章 数学家的望远镜
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弗里德里希·尼采（Friedrich Nietzsche）
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我们的写作工具参与了我们思想的形成过程。
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尽管我有点担心计算机会让我丢掉工作，但我不得不承认，作为一种工具，它是一个“无价之宝”。当我们需要将一系列方程合并成一个方程时，手工计算是很难保证不出错的。但对于计算机来说，它就很擅长处理这种重复而机械且计算量庞大的任务。你只需要定义一套规则，剩下的就由计算机接手了。而且，在速度与准确性等方面，计算机是远超过手工计算的。正因为如此，近年来计算机的作用越来越重要，其应用领域也越来越广泛。
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数学与计算机程序的算法紧密相关。因此，近半个世纪计算机常用于证明一些复杂的数学问题。20世纪70年代，计算机对“四色定理”的证明轰动了全世界。四色定理指的是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图至少需要四种颜色来标记。
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尽管此前很多人认为五种颜色就是下限，但计算机的发明大大加快了对四色定理证明的进程。1976年，数学家凯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）在前人的基础上用计算机证明了四色定理。阿佩尔与哈肯把地图的无限种可能情况简化为1936种构型，但是要靠人工逐一验证如此之多的构型是不现实的，所以才需要借助计算机进行验证。计算机根据程序指令逐一浏览地图并检查其是否满足四色定理。当时的计算机运算速度还不够高，整个证明过程的耗时超过了1000小时。
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计算机只能执行指令，并无自主创造力。但是，想要证实程序中是否存在错误是很困难的。我们能在多大程度上相信计算机，这个问题一直困扰着人工智能领域的学者。当我们进入由算法主导的未来时，确保代码中没有未被检测出的错误，将成为一项艰巨的挑战。
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2006年匹兹堡大学的托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）教授在《数学年鉴》上发表了关于借助计算机证明著名的数学问题——“开普勒猜想”的论文。简单来说，开普勒猜想就是对在空间中如何最密集地堆积圆球的解答。出于有效利用空间以及避免压坏水果的考虑，水果店店主一般会将水果层层交替堆叠，任意平面上的每个水果都与六个水果相邻，构成正六边形。像阿佩尔与哈肯一样，黑尔斯采用的也是借助计算机对足够多的案例进行穷举证明的方法。事实上，早在1998年，黑尔斯就曾宣布他的证明完成，并向《数学年鉴》评审组提交了论文、程序代码及相关资料，但该项证明的审核验证经历了漫长的时间。这是因为人类大脑的物理局限性，审核人必须得充分相信计算机的能力，就好比我们第一次乘坐飞机一样，心中难免惴惴不安。用了8年时间，数学家们证明了黑尔斯是正确的，但其确定性是99%。
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对于数学纯化论者来说，这1%也是不可容忍的。这就好比，要证明你是牛顿的亲戚，可是家族谱系图里却缺少了关键的一环……人们质疑计算机证明数学问题的能力，并不是因为害怕计算机在未来会使得他们丢掉工作（早些年计算机只会按人类的指令执行操作，并不具备自主学习能力），主要是因为无法确定计算机程序是否存在潜在缺陷。我们该如何去相信计算机的证明呢？
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