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音乐——人类心灵在不自知的运算中所体验到的快乐。
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1964年，菲利普·格拉斯（Philip Glass）在巴黎跟随娜迪亚·布朗热[1] （Nadia Boulanger）学习作曲时，每一节课都要从巴赫开始。《赋格的艺术》[2] 是他们课程的一个关键部分，每周的专业课上格拉斯都要学习一部巴赫的作品。和声是多声部音乐的音高组织形态，是音乐的基本表现手段之一，是与对位[3] 相对应的技术范畴。四部和声是多声部主调音乐最基本和最常用的声部组合形式，四部和声的“四部”与人声的四种声乐类型是一致的。在布朗热的指导下，格拉斯重新构建了这些四部和声，并使这些新加入的音和谐地与全曲融合起来。布朗热认为，所有伟大的作曲家都必须从学习巴赫的音乐开始。
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我心中总是有一个小小的愿望，成为一个作曲家而不是一个数学家。在我的数学生涯里，音乐一直是我的好伙伴。例如，巴赫的作品以严格的对位著称，他十分中意对称的结构；巴托克的作品很多都以黄金比例为结构基础，他非常喜欢并善于使用斐波纳契数列。当我尝试探索数学新领域的时候，实际上我的大脑是在寻求一种新的模式和结构。无论是对称还是黄金比例，这些都是让作为数学家的我感到兴奋的东西，而这些作曲家同样被这些模式和结构吸引。这可能就是巴赫或巴托克的音乐有助于我思考的原因。有时，作曲家是本能地或者不自知地被数学的模式和结构所吸引，而他们并没有意识到这些数学模式的意义；有时，他们主动去寻找新的数学思想来作为他们作品的框架。
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在和作曲家艾米丽·霍华德（Emily Howard）讨论几何时，我有了一个想法：作为交换，我给她讲解双曲几何[4] ，她给我上作曲课。她欣然接受了这个建议。不久后，我在咖啡馆上了我的第一堂作曲课。
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就像一个新人写手面对一张完全空白的稿纸一样，面对空空如也的五线谱我感到了恐慌。艾米丽平静地解释道：“每一位作曲家在开始创作一部作品时，都需要先构思一个框架，以便进行创作。”她建议我们从中世纪的复调音乐开始。在中世纪，有一种复调作曲技法叫作有量卡农[5] （prolation canon）。这种作曲技法是从一个简单的节奏开始，单声部进行；随后，第二声部以一半的速度、同样的节奏加入；再然后，第三声部以两倍的速度、同样的节奏加入。尽管主题一致，通过这样的作曲技法就可以让你听到三个声部有着不同的节奏。当了解这种作曲技法后，去听这样的作品时，你立马会在脑海里识别到这种模式并将这三个声部组织起来。
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我的家庭作业是：创作一段简单的节奏，用有量卡农的作曲技法写一首弦乐三重奏。对我来说这是一个简单的任务，我可以很容易地写出这首曲子结构对应的数学方程式：X+2X+1/2X。在我创作的过程中，我强烈地感觉我像是一个园丁：从无到有创造出来的一小段节奏就像一颗种子，我将它安置在五线谱上。通过应用艾米丽教给我的算法，这个种子在我手中不断地变化——它在生长，而算法帮助我生成新的部分来填充其余的声部。新生成的部分与原始的种子有很强的联系，但它不只是复制原始的种子，或是它的一部分。看到我的音乐花园在这个简单的规则下变得欣欣向荣，我感到非常满意。
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正是这次作曲的经历，让我理解了算法和作曲之间的密切联系。算法是一组规则，它可以接受各种各样的输入，通过将规则应用于输入的内容，可以得到结果。初始输入就是种子，算法是种子生长的方法。我们在前文已得知，运用欧几里得算法[6] 可以求得两个正整数的最大公约数。算法可以有不同的图像，通过分析这些图像，你可以知晓这些算法的内容。有一些算法可以生成分形图形：从一个简单的几何图像开始，反复将一个数学方程应用到图像上，最后就会出现一个复杂的图形。
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前面我应用在音乐创作上的算法也具有类似的特性。格拉斯早期的一部作品或许表明了，算法是这位作曲家工具箱里的一个关键工具。他的作品《1+1》是为一人演奏所作，演奏者需要在桌面上敲击出一系列的节奏，所发出的声音会由接触式的麦克风放大。这个作品的主题动机（音符组合的模式）有两个：A是两短一长的节奏，B是一个长的节奏。在格拉斯的指导下，演奏者可以选择某一种算法（规则）来组合这两个主题。
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这样，演奏者就被赋予了自己选择算法的自由。格拉斯还做了一些不同算法的范例，例如ABAABBBAAABBBBB……这个算法的规则是每当主题A增加一次，主题B就相应增加两次。我想会有很多人这样批评格拉斯：“得了吧！这哪里是音乐？太过单调乏味了吧！”但对我而言，这个作品向我展现了音乐的核心——当你听到这首作品时，你的大脑会意识到：作品的内容不是随机的，也不是简单的重复。尝试逆向开发作品并从中找到核心模式是一种乐趣。我相信正是这样，使音乐世界和数学世界的联系变得如此紧密。
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因此，作曲家在创作的时候要进行艺术或科学的双重考量：发明新的算法，用以创作有趣的音乐；选择不同的种子（即主题动机）输入到算法当中。鉴于现实工作中算法正在不断地提升音乐创作的质量，这可能是计算机成为作曲家的关键吗？
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[1] 1887.9.16—1979.10.22，法国著名女音乐教育家、作曲家、指挥家。——译者注
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[2] 被看作巴赫（1685—1750）在晚年悉心于音乐艺术最深层探索的思想和实践的最后总结，是其一部未完成的杰作。整部作品由14首赋格和6首卡农组成，它们是由同一个主题发展而来的。这部作品的主要目的是要在一部音乐作品里，尽可能地深度发掘复调音乐对位法的所有可能。——译者注
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[3] 即通常所说的“复调”。——译者注
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[4] 也称罗巴切夫斯基几何、波利亚–罗巴切夫斯基几何、罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的几何公理系统。——译者注
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[5] 又称mensuration canon或proportional canon，是一种复调作曲技法，指卡农的不同声部以相同或相似的节奏（主题动机）、不同比例的速度进行。——译者注
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[6] 又称辗转相除法，用于计算两个正整数的最大公约数，应用于数学和计算机两个领域。欧几里得算法和扩展欧几里得算法可使用多种编程语言实现。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 巴赫：首位音乐程序员
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布朗热坚持将学习巴赫的作品作为学习音乐创作的起点，她坚持的原因之一是，算法在巴赫创作音乐的过程中发挥了显而易见的重要作用。在某种程度上，我觉得巴赫应该是首位音乐程序员，因为巴赫的许多作品可以用数学的语言描绘出来，但其蕴含的算法要比中世纪的复调音乐复杂得多。虽说《音乐的奉献》源于腓特烈大帝要求巴赫即兴创作，但这部作品清楚地证明了上述观点。
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尽管普鲁士国王腓特烈大帝以他在军事上的功绩而闻名，但他一生都非常热爱音乐。他的父亲在他还是孩子的时候，曾试图摧毁他对音乐的爱好和追求，但并无效果。登上王位后，腓特烈大帝经常在波茨坦的宫殿里为彰显他的文治武功，招揽最优秀的音乐家举办盛大的音乐会。在这些音乐家里，有巴赫的儿子卡尔·菲利普·埃马努埃尔·巴赫（Carl Philipp Emanuel Bach，即C.P.E.巴赫），他是乐团的羽管键琴首席演奏家。
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1747年，62岁高龄的巴赫去看他儿子时创作了《音乐的奉献》这部作品。当时的交通不便，在经历了好几天辛苦的旅程后，他终于到了儿子家，这时他已经累瘫了。腓特烈大帝听说巴赫已经到达，立刻下令让巴赫入宫，邀请他参加宫廷音乐会。据说腓特烈大帝十分青睐西尔伯曼钢琴，他把当时仅有的15架全部收入囊中，摆放在宫殿的各处。
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收到宫廷的传召，为了不让腓特烈大帝久等，巴赫立马动身前往，甚至没有换下旅行的行装。他一到宫殿，腓特烈大帝就带着他参观那些收藏的钢琴。巴赫惊人的即兴创作能力广为人知，因此腓特烈大帝在宫廷音乐会上给了巴赫一个音乐主题，让他用其收藏的钢琴根据该主题创作一首乐曲。
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腓特烈大帝给巴赫的这个主题，并不是一个普通的主题。这是一个缺乏音乐性的主题，几个音符之间的音程关系毫无关联，它们被生硬地堆砌在一起。一般人是无法用这种主题作曲的。20世纪的作曲家阿诺尔德·勋伯格（Arnold Schoenberg）对《音乐的奉献》的巧妙构造感到惊讶，他这样评价：“这不仅仅是单一对卡农模仿。”换句话说，用任何经典的对位规则都无法解释这部作品。此故事有另一个版本：腓特烈大帝和巴赫的儿子编造了这个困难的无旋律性的主题，来挑战巴赫。C.P.E.巴赫是巴赫（约翰·塞巴斯蒂安·巴赫，即J.S.巴赫）的次子，因为巴赫在音乐界的影响甚大，他厌恶一直以来都活在父亲的光环之下。他认为父亲的作品是老派的，他想创造一种新的音乐风格。所以，这次即兴作曲也许是暴露他父亲作曲风格和方法中缺点的机会，好让他出丑。也许正如勋伯格所说，他们希望“享受巴赫掉进这个精心设计的陷阱里的无助感”。如果真是这样的话，那就真的是适得其反，搬起石头砸了自己的脚——巴赫坐下来，用这个怪异的主题，即兴创作了令人惊叹的三部赋格曲。
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赋格曲是一种更复杂的卡农或轮唱，很多人在学校里应该唱过这种歌。卡农的唱法是这样的：一半的同学先开始唱，几拍过后，另一半同学再开始唱同一首歌；一个声部的曲调自始至终追逐着另一个声部，直到最后的一个小节；最后的一个和弦，歌声融合在一起，给人以一个神圣的意境。《伦敦大火》（London’s Burning）和《雅克兄弟》[1] （Frère Jacques）都是很好的例子。
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