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因此，作曲家在创作的时候要进行艺术或科学的双重考量：发明新的算法，用以创作有趣的音乐；选择不同的种子（即主题动机）输入到算法当中。鉴于现实工作中算法正在不断地提升音乐创作的质量，这可能是计算机成为作曲家的关键吗？
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[1] 1887.9.16—1979.10.22，法国著名女音乐教育家、作曲家、指挥家。——译者注
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[2] 被看作巴赫（1685—1750）在晚年悉心于音乐艺术最深层探索的思想和实践的最后总结，是其一部未完成的杰作。整部作品由14首赋格和6首卡农组成，它们是由同一个主题发展而来的。这部作品的主要目的是要在一部音乐作品里，尽可能地深度发掘复调音乐对位法的所有可能。——译者注
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[3] 即通常所说的“复调”。——译者注
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[4] 也称罗巴切夫斯基几何、波利亚–罗巴切夫斯基几何、罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的几何公理系统。——译者注
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[5] 又称mensuration canon或proportional canon，是一种复调作曲技法，指卡农的不同声部以相同或相似的节奏（主题动机）、不同比例的速度进行。——译者注
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[6] 又称辗转相除法，用于计算两个正整数的最大公约数，应用于数学和计算机两个领域。欧几里得算法和扩展欧几里得算法可使用多种编程语言实现。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514918]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 巴赫：首位音乐程序员
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布朗热坚持将学习巴赫的作品作为学习音乐创作的起点，她坚持的原因之一是，算法在巴赫创作音乐的过程中发挥了显而易见的重要作用。在某种程度上，我觉得巴赫应该是首位音乐程序员，因为巴赫的许多作品可以用数学的语言描绘出来，但其蕴含的算法要比中世纪的复调音乐复杂得多。虽说《音乐的奉献》源于腓特烈大帝要求巴赫即兴创作，但这部作品清楚地证明了上述观点。
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尽管普鲁士国王腓特烈大帝以他在军事上的功绩而闻名，但他一生都非常热爱音乐。他的父亲在他还是孩子的时候，曾试图摧毁他对音乐的爱好和追求，但并无效果。登上王位后，腓特烈大帝经常在波茨坦的宫殿里为彰显他的文治武功，招揽最优秀的音乐家举办盛大的音乐会。在这些音乐家里，有巴赫的儿子卡尔·菲利普·埃马努埃尔·巴赫（Carl Philipp Emanuel Bach，即C.P.E.巴赫），他是乐团的羽管键琴首席演奏家。
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1747年，62岁高龄的巴赫去看他儿子时创作了《音乐的奉献》这部作品。当时的交通不便，在经历了好几天辛苦的旅程后，他终于到了儿子家，这时他已经累瘫了。腓特烈大帝听说巴赫已经到达，立刻下令让巴赫入宫，邀请他参加宫廷音乐会。据说腓特烈大帝十分青睐西尔伯曼钢琴，他把当时仅有的15架全部收入囊中，摆放在宫殿的各处。
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收到宫廷的传召，为了不让腓特烈大帝久等，巴赫立马动身前往，甚至没有换下旅行的行装。他一到宫殿，腓特烈大帝就带着他参观那些收藏的钢琴。巴赫惊人的即兴创作能力广为人知，因此腓特烈大帝在宫廷音乐会上给了巴赫一个音乐主题，让他用其收藏的钢琴根据该主题创作一首乐曲。
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腓特烈大帝给巴赫的这个主题，并不是一个普通的主题。这是一个缺乏音乐性的主题，几个音符之间的音程关系毫无关联，它们被生硬地堆砌在一起。一般人是无法用这种主题作曲的。20世纪的作曲家阿诺尔德·勋伯格（Arnold Schoenberg）对《音乐的奉献》的巧妙构造感到惊讶，他这样评价：“这不仅仅是单一对卡农模仿。”换句话说，用任何经典的对位规则都无法解释这部作品。此故事有另一个版本：腓特烈大帝和巴赫的儿子编造了这个困难的无旋律性的主题，来挑战巴赫。C.P.E.巴赫是巴赫（约翰·塞巴斯蒂安·巴赫，即J.S.巴赫）的次子，因为巴赫在音乐界的影响甚大，他厌恶一直以来都活在父亲的光环之下。他认为父亲的作品是老派的，他想创造一种新的音乐风格。所以，这次即兴作曲也许是暴露他父亲作曲风格和方法中缺点的机会，好让他出丑。也许正如勋伯格所说，他们希望“享受巴赫掉进这个精心设计的陷阱里的无助感”。如果真是这样的话，那就真的是适得其反，搬起石头砸了自己的脚——巴赫坐下来，用这个怪异的主题，即兴创作了令人惊叹的三部赋格曲。
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赋格曲是一种更复杂的卡农或轮唱，很多人在学校里应该唱过这种歌。卡农的唱法是这样的：一半的同学先开始唱，几拍过后，另一半同学再开始唱同一首歌；一个声部的曲调自始至终追逐着另一个声部，直到最后的一个小节；最后的一个和弦，歌声融合在一起，给人以一个神圣的意境。《伦敦大火》（London’s Burning）和《雅克兄弟》[1] （Frère Jacques）都是很好的例子。
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这里所使用的算法非常简单，具有非常明显的几何性质。首先，创作旋律导句是卡农的基础，你需要把它写在五线谱上。算法是一个规则，这个算法应用在旋律导句上生成一首和谐的曲子。该算法的工作原理是，先获取旋律导句的副本，然后在时间轴上向右移动，重复相同的乐句（见图11-1）。这种算法选择模仿导句进入的时间不同会产生不同的效果。这有点像罐子上的条形图案，可以复制、移动和重复。就像罐子上的图案，轮唱曲也可以在第一声部、第二声部之后再添加第三声部。
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图 11-1
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如果把卡农的算法写成一个数学公式，那么我们设旋律的导句为X，然后设延时为S，那么演奏或演唱这首卡农的数学表达式就是X+SX+SSX。该算法创建了一个单一主题的三声部卡农。
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赋格在卡农的基础上进一步发展了，成为多声部多主题动机的多声复调作品。巴赫在作品中喜欢使用的一个手法是：不仅在二声部的时间上做延迟，还对二声部的主题做音高移动的处理。他还会在作品中运用对称规则：二声部可能是将主题旋律反过来使用，就像镜面反射一样。结合所有这些规则，人们可以构建一种算法，来应对如腓特烈大帝故意为难巴赫这样的难题：以一个怪异的主题为基础创作出一首和谐而复杂的乐曲。巴赫已经掌握了这种算法，该算法可以帮助他解决现场即兴创作赋格曲的难题，来应对腓特烈大帝的挑衅。
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腓特烈大帝对这种即兴表演印象深刻，但他想知道巴赫是否能在乐曲上继续添加声部，创作六声部的赋格曲。这是前所未有的。尽管难度很大，巴赫却不想不战而降。创作一部六声部的赋格曲需要更多的时间和精力去构思，不仅仅是坐在键盘前即兴创作就能完成的。所以他回到莱比锡，重新对腓特烈大帝的主题进行变奏创作，以两首赋格曲、四乐章三重奏鸣曲和十首卡农构成了整部套曲，在两个月后呈送给了腓特烈大帝。这其中的赋格曲采用的就是现在为人所称道的、令人惊叹的“里切卡尔”（ricercar）。
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巴赫创作的这部套曲里的十首卡农都是以腓特烈大帝所给的主题为基础的，构成每一首乐曲的都是基础的主题动机和一个数学规则或算法。每一首乐曲都像是一道数学题，演奏者必须解开这道数学题才能进行演奏。例如，巴赫在一首单行乐曲的末尾加了一个倒置的谱号。这个上下颠倒的谱号是巴赫这首乐曲算法的关键，也是演奏者将这个算法应用的关键。算法的内容是：将谱子上下颠倒过来，按照谱面所记演奏出一条旋律，然后再将这条旋律和原有的旋律同时奏出，这样就得到了一首二声部的钢琴曲。该算法是应用于原始旋律主题的规则，目的是为原始声部添加额外的声部。正如图像识别的算法适用于任何照片一样，只要有一个基础的主题动机旋律，这个音乐算法也可应用其上。
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《音乐的奉献》开篇的十首卡农分别用了不同的算法，这些算法在数学的层面上对原始的主题进行了发展。这十首卡农是为后面的里切卡尔做热身，而里切卡尔向我们展示了巴赫如何完美地以一个简单的主题为基础，运用简单的数学算法创作出一部精妙绝伦、异常复杂的作品。这里面应用到的技法有：正格卡农的同度卡农和不同度卡农，变格卡农的增时卡农、减时卡农、倒影卡农，等等。巴赫将这些令人眼花缭乱的规则巧妙地结合在一起，创作出了六声部赋格曲。我们的大脑一边紧张地识别乐曲进行的模式，一边分析这个模式的运行规律，但未来是未知的，所以在分析的同时我们对乐曲接下来的进行模式做出预测是异常困难的。正是这种知与未知点燃着我们的兴奋点。正如哈里森·伯特威斯尔（Harrison Birtwistle）所言：最后一个音符没有演奏完，音乐就还没有结束。
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巴赫当时是否意识到他正在进行数学游戏？在我来看，很明显他知道自己在做什么。因为其中涉及太多有关于数学的部分，我们很难以偶然或是潜意识中的无意间使用来解释。巴赫晚年时申请进入他的学生米兹勒创办的米兹勒音乐学社。该社致力于研究和探索科学与音乐之间的联系，曾公开发表过题为《作曲学习中数学的必要性》的论文。作为会员的巴赫，当然也是支持、认同数学和音乐之间具有紧密的相关性的。