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尽管每天的天气都依赖于前一天的天气，但从长远来看，无论我们的模型是从晴天、雨天还是阴天出发，下雨的概率都会趋向于相同的数值（32.35%）。为了证实这一点，我们可以提高矩阵乘方的指数来进行验证，结果我们会发现每一行都会趋向于相同的概率。因此，即使明天的天气依赖于今天的天气，长期的天气预报也与今天的天气无关。
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下面这个矩阵每一行表示的是十天后晴天、阴天或雨天的概率。通过数据我们可知，今天的天气是什么并不重要（即我们选择哪一行来观察），第十天的概率总是相同的。马尔可夫设计的这个试验，彻底证明了涅克拉索夫的观点是错误的——从长期犯罪统计数据来看，罪犯决意犯罪是由个人自由意志决定的，这个论点是站不住脚的。
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马尔可夫决定使用一首在俄国家喻户晓的著名诗歌——普希金（Pushkin）的《尤金·奥涅金》（Eugene Onegin）来阐释他的模型。他所做的分析并不是要给这首诗提供新的文学见解，而只是用它作为一个数据集来分析元音和辅音的出现概率。他提取了这首诗的前20 000个字母（大约占整首诗的1/8），计算了元音和辅音出现的次数。虽然计算机可以在一瞬间完成这项工作，但是马尔可夫坐下来，自己一个一个地计算元音和辅音出现的次数。他最终得出的结论是，元音占总数的43%，辅音占总数的57%。如果随机提取一个字母，那么很大可能它是一个辅音。他感兴趣的是，知道前一个字母是辅音还是元音是否会改变你对当前字母的猜测。换句话说，下一个字母是辅音的概率是否取决于前一个字母是不是辅音？
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经过对文本的分析，马尔可夫发现，一个辅音后面会跟着另一个辅音的概率是34%，而辅音后面会跟着一个元音的概率是66%。尽管前几个字母在很大程度上取决于起始字母的选择，但是马尔可夫证明，从长远来看，字母的分布是一种模式。因此，即使是相互依赖的事件，如果它们受到固定概率的影响，也是一致的。这其实并不令人意外，因为大多数单词的拼写往往都是辅音和元音交替出现的。经过统计计算，他发现元音后接元音的概率只有13%。因此，可以说《尤金·奥涅金》为马尔可夫提供了一个完整的模型，帮助他阐释了自己的想法。
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马尔可夫链的一个重要性质就是其是无记忆的：在当前状态下，你可能需要一切可用的事件来预测下一个事件。这种无记忆性也叫马尔可夫属性。有时可以通过考虑前两种状态如何影响下一种状态来改进模型。（以《尤金·奥涅金》试验为例，了解前两个语音元素，可能有助于增加推测下一个语音元素的正确概率。）但在某种程度上，这种依赖性是不存在的。
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514924]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 “续作者”：第一个人工智能即兴爵士作曲演奏者
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帕切特决定用帕克的作品来替代普希金的诗。他的想法是，对爵士音乐家的即兴演奏片段进行分析，给定一个音符，分析下一个音符出现的概率。现在，让我们想象一个由上行和下行音阶组成的即兴重复乐段。如果演奏一个特定的音符，那么下一个音符上行或是下行的概率都是50%。基于这样的事实，该算法将在音阶上进行随机抓取。给予算法的即兴演奏次数越多，它分析的数据就越多，某一种特定的演奏风格就会出现越多。帕切特发现，仅仅回溯一个音符是不够的，可能需要几个音符才能知道下一个音符是什么。但是，我们不希望算法生成与训练数据雷同的东西，所以回溯过多是没有好处的。
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帕切特算法的优点是你可以向其提供实时数据。比如，你可以在钢琴上即兴弹奏，该算法会统计分析你在做什么，当你停下来的那一刻，它会继续以同样的风格进行弹奏。这种问句和答句的形式在爵士乐中很常见，因此该算法可以和音乐家进行现场的旋律问答。正因为该算法可以生成与训练数据相同风格的输出内容，所以被称为“续作者”。
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“续作者”会根据它刚刚演奏的内容以及训练数据，来计算下一个特定音符出现的概率，然后以掷骰子的随机模式做出选择。在另一个版本的算法中，帕切特没有选择问句与答句的“问答模式”，而采用了一种“合作模式”：算法会根据演奏的一段旋律，利用它的概率演算来推测出正确的伴奏和弦，就像真人在伴奏一样。
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使用该算法的爵士音乐家对其有什么样的看法呢？伯纳德·鲁巴特（Bernard Lubat）是一位当代爵士音乐家，他对“续作者”进行了测试，该算法给他留下了深刻的印象：“这个系统向我展示了一些我本可以实现的想法，但它们需要我花费很多年时间才能真正实现。虽然它走在我前面，但毫无疑问它所发挥的一切的源头还是‘我’。”“续作者”已经掌握了鲁巴特的音乐世界，但它不是简单地重复他以前做过的事情，而是在探索新的领域。可以说，它是一个展示探索性创造力的算法。除此之外，它还通过向鲁巴特展示他以前从未接触过的方面，来促使其写出的作品更具创造性。
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对我来说，这就是通过洛夫莱斯测试的时刻，是AlphaGo与李世石制胜一招的音乐版。这个算法生成的结果让编写算法的程序员和对算法进行训练的音乐家都感到惊讶，但它所带来的意义不仅仅是创新和令人惊讶而已。对于鲁巴特来说，这个算法生成的输出内容太有价值了：在算法帮助下，他的作品更具创造性，他也变得更富创造力了。
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人们都倾向于安于现状、故步自封。“续作者”已经开启了新的音乐世界的大门，它强有力地告诉大家：“嘿，你知道吗？你也可以做得到！”鲁巴特这样说道：“这套系统生成和‘演奏’的音乐，尤其是那些余音绕梁的旋律，以及令人难以置信的节奏，都是人类能力极限的巅峰之作。这也许会改变人们对精湛的艺术的概念。”
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鲁巴特觉得在某种程度上他受到了身体的限制，而“续作者”却没有，这使得“续作者”有可能比他更有创造力。通常，缺乏实施的方式阻碍了计算机创造力的表现，但在这个试验中，我们确确实实地感受到了计算机的创造力。与人类相比，计算机能够更快地完成任务，处理更多的数据，但这一事实可能会导致人类创造力和人工智能创造力之间有趣的紧张关系。电影《她》（Her），讲述了一个男人爱上人工智能系统OS1的化身萨曼莎的故事，这部电影就在暗示这样一种关系。在影片中，经过一段时间的相处，人工智能OS1学会了与人类交流沟通。在学习的过程中，它与“哲学家”[1] 建立了更有价值的关系，加之它认为与人类进行互动终究是太慢了（相较于它的CPU运算速度），所以最终选择了离开。也许在未来，“续作者”将生成只有另一台机器才能欣赏到的“声音”，因为它的复杂性和速度超出了人类的极限。
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在帕切特设计的一场试验中，“续作者”引起了听众们有趣的情感反应。在现场表演中，尽管鲁巴特在一旁干扰，但听众的反应是惊讶，持续的惊讶，且他们努力地跟随“续作者”的演奏。之后，帕切特决定让“续作者”进行爵士音乐版的图灵测试。他请了两位爵士音乐评论家来进行评判，他们听到的是由爵士钢琴家阿尔伯特·范·维恩达尔（Albert van Veenendaal）和“续作者”以“问答模式”演奏的即兴爵士乐。两位评论家都觉得难以区分，不知道哪一部分是机器演奏的，哪一部分是人演奏的。同时，他们都倾向于认为“续作者”演奏的部分很可能是人类爵士音乐家演奏的。这是因为“续作者”正在以有趣的方式，在体裁、样式、风格方面不断进行着突破。
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“续作者”的突破，完成了很多了不起的事情。可是，虽然它创作的音乐片段在局部是有意义的，甚至是相当令人惊喜的，但基于马尔可夫链系统存在的一些内在局限性，令它的作品最终还是不那么令人满意。因为这些作品没有总体的全局结构，也就是并没有实现真正意义上的“作曲”。帕切特意识到，如果要使音乐具有更强的叙事性，那么就必须驱动、限制旋律进行演进。在问答中，你通常希望从问题开始处得到最终的答案，类似地，在音乐中你会期盼旋律从不稳定解决到稳定，最终实现某种张力的解决。帕切特必须找到一种新的方法，将马尔可夫链系统中的自由与约束条件结合起来，从而形成一种更具结构化的组合。
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[1] 电影中以英国哲学家阿兰·瓦茨为原型建造的高级人工智能系统。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514925]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 “心流机”
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许多艺术家和表演者曾描述，当他们全身心地投入到艺术中时，就失去了时空感，有些人称之为“进入状态”。美籍匈牙利心理学家米哈里·契克森米哈赖（Mihaly Csikszentmihalyi）于1990年首次提出并确立了“心流”[1] （flow）这一概念。帕切特决定尝试创造一种算法，来帮助有创造力的艺术家进入“心流”状态。
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