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既然通过算法可将西班牙语翻译成英语，那么能不能将这种计算机证明语言翻译成易于与人交流的方式呢？剑桥大学的两位数学家蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）和莫汉·加内萨林加姆（Mohan Ganesalingam）开展了此项研究。1998年，高尔斯成为菲尔茨奖获得者并登上新闻头条，同年被聘为劳斯·鲍尔（Rouse Ball）讲席教授。
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另一位数学家加内萨林加姆的经历也极富传奇色彩。起初，他按部就班地在剑桥大学三一学院学习数学，以第一名的成绩拿到剑桥大学的数学专业学位，并获得资深兰格勒头衔（Senior Wrangler），这是剑桥数学学子的最高荣誉。后来，加内萨林加姆改行学英语，又以剑桥大学英语学院最佳成绩毕业，获得了盎格鲁–撒克逊英语（Anglo-Saxon English）硕士学位，令所有人大吃一惊。紧接着，他继续攻读计算机科学博士学位，从形式语言学角度对数学语言进行分析。他的数学和语言学的背景很快就派上了用场——高尔斯和加内萨林加姆在三一学院相遇，并惊奇地发现他们对揭开计算机语言难以理解的奥秘有共同的爱好。他们决定一起组建团队，创建一个能够生成人类直接能读得懂的计算机证明。
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为测试算法，他们在高尔斯的博客上发布了一个调查问卷。该问卷挑选了本科一年级《度量空间》课程里面的5个定理，每个定理包括3个不同的证明，分别由博士生、本科生和计算机算法完成。为了保证调查的真实性和有效性，博客读者事先未被告知任何关于证明的来源信息。高尔斯仅仅要求他们根据自己的判断为这15个证明的优劣打分，其目的是想了解在没有任何提示的情况下，是否有人会怀疑这些证明不全是由人类完成的。紧接着，他们在第二篇博客文章里向读者透露了每个定理对应的3个证明中有一个是由计算机算法生成的，请读者投票加以辨别。
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通过对投票结果的统计分析，大约有50%的读者识别出了由计算机算法生成的证明，但其中只有半数人确信自己的判断是正确的。此外，那些确信不是计算机证明而实际是计算机证明的投票占比也不容忽视。那些来自本科生的证明往往被误认为是计算机的证明。
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那么，高尔斯这位菲尔兹奖的获得者是如何看待人工智能“入侵”数学领域对他构成的威胁呢？高尔斯在他的博客中这样写道：
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在计算机最终取代人类工作这一历史发展进程中我看不到任何实质性的障碍，这可能会让人感到难过。但实现这一目标的过程却让人憧憬和兴奋。计算机在处理证明中那些烦冗、琐碎环节时的能力越来越强，人机互动越来越少，这留给我们更多的时间和精力去自由地思考更“有趣”的环节。
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在Mizar项目中，除了语言问题之外，DeepMind和谷歌研究团队费了九牛二虎之力提高的3%中，有没有出乎意外的“惊喜”呢？我觉得整个项目似乎并没有抓住研究重点。我为什么这样说？
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[1] “素数有无穷多个”定理的证明之一：假设素数只有有限的n个，其中最大的素数是p。设q为所有素数之积加上1，即q=（2×3×5×…×p）+1，则q不为素数。那么，q就可以被2、3、…p中的某一个数整除。而根据公式，q被2、3、…p中任意一个数整除后又会余1，与前结论相互矛盾。所以，由此可证明，素数个数是无限的。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514931]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 巴别数学图书馆
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我最喜爱的短篇小说之一，阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges）创作的《巴别图书馆》可以解释上述的问题。该小说讲述的是一名图书管理员“探索”自己图书馆的故事。小说开头他这样描述自己的工作场所：“宇宙（别人管它叫图书馆）由许多六角形的回廊组成，其数目不能确定，也许是无限的……任何一个六角形回廊的上层和下层看起来都是永无止境的。”除图书馆之外，这里别无他物。它是我们自己的图书馆（我们称之为宇宙）的隐喻。这个像巨大蜂巢一样的图书馆里堆满了大小一致的书籍：每本书有410页，每页有40行，每行由80个书写符号（书写符号共25种，包括空格、句号、逗号以及22个字母）组成。
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当图书管理员翻看这些书籍时，他发现除了偶尔地会看到一些有趣的文字之外，几乎所有书籍的内容都是无序、混乱的：有一本书从头至尾全部都在重复MCV三个字母；另一本书则纯粹是完全看不懂的“字母迷宫”，唯有倒数第二页上出现一行字——“啊！时间，你的金字塔！”
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图书管理员给自己设定的目标是确定图书馆是否真的是无限大，如果不是，那么它到底是什么形状？随着故事的发展，一个假设被提出：“这个图书馆是‘完全的’……图书馆的书架上收藏着由25个书写符号构成的全部可能的组合（其数目尽管很大，但却是有限的）。换言之，就是能够用所有的语言表达出来的一切。”这个图书馆收藏着有可能被写出来的每一本书籍：托尔斯泰的《战争与和平》随处可见；达尔文的《物种起源》、托尔金的《指环王》，以及这些作品所有语言的译本；甚至本书也被放置在图书馆某个角落的书架上。（到目前为止，我的这本书才写了这么多，我多么希望能够找到它，这样就省得自己苦思冥想剩下的部分了！）
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由于所有书的页数、行数、每行的字数这些指标都是固定的，我们可以估算出图书馆的藏书总数。已知构成书籍内容的书写符号共有25种，那么第一页第一行第一个字符就有25种选择，第二个字符也有25种选择，所以前两个字符总共可构成25×25=252 种选择。依此类推，每行有80个字符，就有2580 种可能的组合方式。
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我们把问题进一步扩展，计算一下第一页可能有多少种不同的组合方式。因为每页有40行，所以就有（2580 ）40 =2580×40 种可能的组合方式。每本书有410页，进而可得（2580×40 ）410 =2580×40×410 种可能的组合方式，这就意味着图书馆的藏书总数达到了2540×80×410 本。这个数目非常巨大。给定宇宙可观测范围内的原子总数为1080 ，那么用一个原子代表一本书，即使把所有的原子都用光，也远远达不到巴别图书馆里的藏书总数。但即便如此，它依然是一个有限的数字。根据这个原理，我们可以很容易地编写出程序，让计算机在有限的时间内系统地生成所有书籍。当然，宇宙逐渐衰变成永恒的、冰冷的黑暗要经过多长的时间尚未得知，这里仅仅是从理论上加以讨论。
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当人们听说图书馆收集了所有能被写出来的书籍时，首先得到的是一种奇特的幸福感，但随之而来的是巨大的失望，因为人们意识到这个似乎包罗万象的图书馆里实际上什么都没有。托尔斯泰、达尔文、托尔金甚至我的书在出版以后会被牛津大学图书馆收藏，是因为它们被人（许多人）认为是文学世界的瑰宝，它们值得在那里被收藏。这也是巴别图书馆与牛津大学图书馆最大的不同之处。
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当我们来到数学书库，会看到那里收藏了《数学年鉴》《l’IHES数学出版物》这些伟大的期刊。那么，要具备什么条件才能成为该书库书架上的一员呢？许多人理所当然地会认为，这个书库一定期望自己能发展成为“巴别数学图书馆”，收录历年来数学家们记录的所有关于数字和几何学的新发现，例如， 是无理数、有限单群分类列表、球体体积公式、最速落径识别等。
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这其实是Mizar想要实现的：首先创建一个数学命题列表，然后用公理去证明这些命题以验证其真假。对命题的证明就是进入Mizar数据库的必要条件。换言之，对于命题的实质是什么，是否有人会觉得它足够有趣，是否可以与其他数学家分享等，Mizar并不关心。它所做的是，只要是对命题的证明，就在没经过筛选的情况下收录到数据库中。换言之，它只是一个包含可以证明的一切的“巴别图书馆”。
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在我看来，这违背了数学精神。数学不仅仅是由一组我们所能发现的关于数字的真命题构成的。这可能会让大多数非数学专业人士感到震惊。数学家们像《巴别图书馆》的作者博尔赫斯一样，都是写故事的好手，只不过他们“写作”用的字符是数字和几何图形，而他们证明定理的过程就是在叙述故事和塑造角色。他们判断和选择故事是基于对故事情节产生的情绪反应。
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此处引用我的偶像之一、伟大的数学家亨利·庞加莱对数学创造做出的解释：“什么是数学创造？它并不意味着对已知的数学事实重新组合。任何人都可以做到重新组合，但这种组合的数量是无限的，并且大多数毫无价值。创造，意味着不制造无用的组合，而仅制造那些少量且有用的。创造即甄别，即选择。”数学是被创造的还是被发现的？我们之所以认为它是被创造的，归根结底是鉴别和选择。当然，创造方法其他人也可以想得到，但尽管方法很多，却不是人人都能创造出像贝多芬的《大调赋格》（Grosse Fuge）或者艾略特的《荒原》（The Waste Land）那样的伟大作品。数学中也存在着“同样的自由”，这一点可能会令绝大多数人惊讶无比。
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正如庞加莱所说，数学是一门关于鉴别和选择的学问。那么，期刊收录数学论文的标准是什么呢？为什么费马大定理的证明会被认为是20世纪最伟大的数学证明之一，而同等复杂程度的数值计算却是平庸而无趣的？“当n>2时，方程xn +yn =zn 没有整数解”的证明到底有趣在哪里？
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这就是为什么我说数学不仅是一门有用的科学，而更像是一门创造性的艺术。定理证明的叙述，是决定这个定理能否在数学的万神殿中占据一席之地的重要因素。因此，我相信一个好的证明就像一个动人的故事，抑或是一首美妙的乐曲，可以启发或引导“听众”踏上转变之旅。
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