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当我们来到数学书库，会看到那里收藏了《数学年鉴》《l’IHES数学出版物》这些伟大的期刊。那么，要具备什么条件才能成为该书库书架上的一员呢？许多人理所当然地会认为，这个书库一定期望自己能发展成为“巴别数学图书馆”，收录历年来数学家们记录的所有关于数字和几何学的新发现，例如， 是无理数、有限单群分类列表、球体体积公式、最速落径识别等。
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这其实是Mizar想要实现的：首先创建一个数学命题列表，然后用公理去证明这些命题以验证其真假。对命题的证明就是进入Mizar数据库的必要条件。换言之，对于命题的实质是什么，是否有人会觉得它足够有趣，是否可以与其他数学家分享等，Mizar并不关心。它所做的是，只要是对命题的证明，就在没经过筛选的情况下收录到数据库中。换言之，它只是一个包含可以证明的一切的“巴别图书馆”。
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在我看来，这违背了数学精神。数学不仅仅是由一组我们所能发现的关于数字的真命题构成的。这可能会让大多数非数学专业人士感到震惊。数学家们像《巴别图书馆》的作者博尔赫斯一样，都是写故事的好手，只不过他们“写作”用的字符是数字和几何图形，而他们证明定理的过程就是在叙述故事和塑造角色。他们判断和选择故事是基于对故事情节产生的情绪反应。
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此处引用我的偶像之一、伟大的数学家亨利·庞加莱对数学创造做出的解释：“什么是数学创造？它并不意味着对已知的数学事实重新组合。任何人都可以做到重新组合，但这种组合的数量是无限的，并且大多数毫无价值。创造，意味着不制造无用的组合，而仅制造那些少量且有用的。创造即甄别，即选择。”数学是被创造的还是被发现的？我们之所以认为它是被创造的，归根结底是鉴别和选择。当然，创造方法其他人也可以想得到，但尽管方法很多，却不是人人都能创造出像贝多芬的《大调赋格》（Grosse Fuge）或者艾略特的《荒原》（The Waste Land）那样的伟大作品。数学中也存在着“同样的自由”，这一点可能会令绝大多数人惊讶无比。
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正如庞加莱所说，数学是一门关于鉴别和选择的学问。那么，期刊收录数学论文的标准是什么呢？为什么费马大定理的证明会被认为是20世纪最伟大的数学证明之一，而同等复杂程度的数值计算却是平庸而无趣的？“当n>2时，方程xn +yn =zn 没有整数解”的证明到底有趣在哪里？
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这就是为什么我说数学不仅是一门有用的科学，而更像是一门创造性的艺术。定理证明的叙述，是决定这个定理能否在数学的万神殿中占据一席之地的重要因素。因此，我相信一个好的证明就像一个动人的故事，抑或是一首美妙的乐曲，可以启发或引导“听众”踏上转变之旅。
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学寓言
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通过讲故事的方式可以更好地解释数学证明的叙述质量这一概念。我13岁时读了哈代的《一个数学家的辩白》，这是我第一次接触数学证明。该书描写的是一名数学家的切身感受。格雷厄姆·格林（Graham Greene）认为该书对创作型艺术家的描述是继亨利·詹姆斯（Henry James）的日记以来最贴切的。
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书中提到了欧几里得发现的，极可能是数学史上最早的一个证明。如果把这个证明看作一个故事，那么故事的“主角”就是素数。素数又称质数，是一个大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。例如，3、7、13，等等。现在我们一起踏上叙事之旅，揭开关于故事主角的谜题——素数是无穷无尽的这一特性。本章开始部分已经介绍了Mizar系统对该定理的证明。现在，由我来告诉你这个故事。
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证明就像数学家的旅行游记，欧几里得通过他心灵的窗户看到了这样的景象：素数就像一座座山峰，重峦叠嶂，绵延不绝。后辈数学家们肩负的任务就是寻找一条从熟知的领域出发，通向这片未知新世界的道路。
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就像《指环王》中弗罗多从夏尔到魔多的冒险一样，证明就是对这段旅程的描述。在夏尔这片人们熟悉的土地上有数学公理（关于数学的不证自明的真理）以及那些已被证明的命题，这是任务的初始设置。从故土出发的旅程受到数学推导规则的限制，就像棋类游戏的行棋规则，这些规则确定了通过这个世界的行进路线。偶尔陷入僵局后，你需要绕道而行、侧路包抄，甚至以退为进。有时候，你需要等待新角色（如虚数、微积分）的加入才能继续前进。
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证明是一场“按图索骥”的旅程，地图上标定了穿越的路径。成功的证明是一组路标，指引所有后辈数学家走完相同的旅程。证明的读者们将通过地图所指的道路抵达遥不可及的高峰，体会到和作者一样的惊喜和感动。很多时候，证明不是寻找i和t的交点，就像故事不会呈现某角色的每个生活细节——它是对整个旅程的描述，而不是具体步骤的重现。数学家提供的论据旨在引导读者的思想。哈代将论据描述为：“为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻；讲演时用来演示的图片；激发小学生想象力的工具。”
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结尾即是故事的开始，倒叙是数学故事最特别的地方。问题在于故事情节如何设计才能从当前背景到达这一高潮。叙事之旅需要进行一些场景设置——简要的前情描述，告诉我们素数的重要特征是它们是其他数字的约数，即每个数都可以由一个或者多个素数相乘得到，例如105=3×5×7，16=2×2×2×2。
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因此，让我们开启旅程来解释为什么素数有无穷多个。用反证的方法，假设素数不是无穷的，我们可以一一列出这些剧中的“角色”。反证法是数学家工具箱中常用的叙事工具，就像《爱丽丝梦游仙境》或《绿野仙踪》一样，想象出一个完全相反的世界，并试图证明这个世界是真实的，直到故事以一个荒谬的结局告终。最终的结论说明先前的假设是错误的。
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我们假设剧中人物（素数）由2、3、5、7、11、13组成。不难看出，有人被漏掉了（例如，17是素数，但不属于剧中的人物）。将字符相乘：
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2×3×5×7×11×13
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然后，将得到的结果加1：
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2×3×5×7×11×13+1
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这一步就像是短篇小说故事情节中出现的一个转折点，会将剧情导向一个完全出乎意料的结局。
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这个新数字必须通过剧中人物（已有的素数，我们开启旅程时熟悉的外部环境）来构造。那么，哪个素数可以整除这个新数呢？它不可能再是剧中的人物了，因为有一个余数1。但由于素数是其他数字的约数，所以一定存在一些素数可以整除这个数。这意味着我们在设定剧中人物时，漏掉了这些素数。实际上，这个新数可以通过素数59和509相乘得到。
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你或许会建议我将这些新角色添加到剧中，但这个故事的有趣之处就在于，它可以再讲一遍，可结果是你会发现仍然缺少一个角色。依此类推，任何有限的素数列表都会丢失一些素数，因此，素数的个数必须是无穷的。
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证明完毕！[1]
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[1] 数学家喜欢在证明的结尾写一个QED的标记，其源自拉丁语quod erat demonstrandum（意为“这被证明了”）的缩写。——译者注
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