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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学寓言
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通过讲故事的方式可以更好地解释数学证明的叙述质量这一概念。我13岁时读了哈代的《一个数学家的辩白》，这是我第一次接触数学证明。该书描写的是一名数学家的切身感受。格雷厄姆·格林（Graham Greene）认为该书对创作型艺术家的描述是继亨利·詹姆斯（Henry James）的日记以来最贴切的。
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书中提到了欧几里得发现的，极可能是数学史上最早的一个证明。如果把这个证明看作一个故事，那么故事的“主角”就是素数。素数又称质数，是一个大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。例如，3、7、13，等等。现在我们一起踏上叙事之旅，揭开关于故事主角的谜题——素数是无穷无尽的这一特性。本章开始部分已经介绍了Mizar系统对该定理的证明。现在，由我来告诉你这个故事。
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证明就像数学家的旅行游记，欧几里得通过他心灵的窗户看到了这样的景象：素数就像一座座山峰，重峦叠嶂，绵延不绝。后辈数学家们肩负的任务就是寻找一条从熟知的领域出发，通向这片未知新世界的道路。
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就像《指环王》中弗罗多从夏尔到魔多的冒险一样，证明就是对这段旅程的描述。在夏尔这片人们熟悉的土地上有数学公理（关于数学的不证自明的真理）以及那些已被证明的命题，这是任务的初始设置。从故土出发的旅程受到数学推导规则的限制，就像棋类游戏的行棋规则，这些规则确定了通过这个世界的行进路线。偶尔陷入僵局后，你需要绕道而行、侧路包抄，甚至以退为进。有时候，你需要等待新角色（如虚数、微积分）的加入才能继续前进。
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证明是一场“按图索骥”的旅程，地图上标定了穿越的路径。成功的证明是一组路标，指引所有后辈数学家走完相同的旅程。证明的读者们将通过地图所指的道路抵达遥不可及的高峰，体会到和作者一样的惊喜和感动。很多时候，证明不是寻找i和t的交点，就像故事不会呈现某角色的每个生活细节——它是对整个旅程的描述，而不是具体步骤的重现。数学家提供的论据旨在引导读者的思想。哈代将论据描述为：“为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻；讲演时用来演示的图片；激发小学生想象力的工具。”
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结尾即是故事的开始，倒叙是数学故事最特别的地方。问题在于故事情节如何设计才能从当前背景到达这一高潮。叙事之旅需要进行一些场景设置——简要的前情描述，告诉我们素数的重要特征是它们是其他数字的约数，即每个数都可以由一个或者多个素数相乘得到，例如105=3×5×7，16=2×2×2×2。
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因此，让我们开启旅程来解释为什么素数有无穷多个。用反证的方法，假设素数不是无穷的，我们可以一一列出这些剧中的“角色”。反证法是数学家工具箱中常用的叙事工具，就像《爱丽丝梦游仙境》或《绿野仙踪》一样，想象出一个完全相反的世界，并试图证明这个世界是真实的，直到故事以一个荒谬的结局告终。最终的结论说明先前的假设是错误的。
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我们假设剧中人物（素数）由2、3、5、7、11、13组成。不难看出，有人被漏掉了（例如，17是素数，但不属于剧中的人物）。将字符相乘：
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2×3×5×7×11×13
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然后，将得到的结果加1：
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2×3×5×7×11×13+1
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这一步就像是短篇小说故事情节中出现的一个转折点，会将剧情导向一个完全出乎意料的结局。
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这个新数字必须通过剧中人物（已有的素数，我们开启旅程时熟悉的外部环境）来构造。那么，哪个素数可以整除这个新数呢？它不可能再是剧中的人物了，因为有一个余数1。但由于素数是其他数字的约数，所以一定存在一些素数可以整除这个数。这意味着我们在设定剧中人物时，漏掉了这些素数。实际上，这个新数可以通过素数59和509相乘得到。
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你或许会建议我将这些新角色添加到剧中，但这个故事的有趣之处就在于，它可以再讲一遍，可结果是你会发现仍然缺少一个角色。依此类推，任何有限的素数列表都会丢失一些素数，因此，素数的个数必须是无穷的。
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证明完毕！[1]
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[1] 数学家喜欢在证明的结尾写一个QED的标记，其源自拉丁语quod erat demonstrandum（意为“这被证明了”）的缩写。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 意料之外的故事
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对我来说，数学证明最重要的不是追求“证明完毕”，也不是得到的最终结果，而是整个证明的过程，即通向目的地的旅程，这就像音乐的全部并不是最后的一个和弦一样。知道素数有无穷多个这一结果固然很重要，但我们的满足感源自对其原因的理解。在阅读小说和证明数学定理时，最令人开心的莫过于将所有的线索聚集在一起揭开谜团的那个顿悟的时刻。比如，将某段音乐中的和声结构分辨出来，或者将某个谋杀之谜解开。
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“令人惊讶”是数学的重要特质。数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）这样描述他最喜爱的数学特质：
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我喜欢惊喜。规行矩步的论证是枯燥无味的。我喜欢意料之外的收获：全新的视角；与其他领域的交叉融合；在故事尾声处发生的大逆转。当在创作一篇新的数学作品时，我所做的选择将被一种愿望所激励，那就是带领我的读者踏上一段充满曲折和惊喜的有趣旅程。我想用一个问题跟我的读者开个玩笑：为什么两个看似毫不相干的角色应该建立关联？然后，随着证据的展开，人们会逐渐意识到，或者说突然意识到，这两个角色（概念）实际上是一样的。
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我最喜欢的定理之一是费马发现的关于某些类型的素数具有的一个奇特性质：如果一个素数除以4后所得余数为1，那么该素数等于某两个数字的平方和。例如，41是素数，其除以4后余数为1，而41又可以写成25+16，即52 +42 。但是，这适用于所有类型的素数吗？除以4后余数为1的素数有无穷多个，为什么它们会与平方数有关？
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