1700517510
1700517511
结尾即是故事的开始，倒叙是数学故事最特别的地方。问题在于故事情节如何设计才能从当前背景到达这一高潮。叙事之旅需要进行一些场景设置——简要的前情描述，告诉我们素数的重要特征是它们是其他数字的约数，即每个数都可以由一个或者多个素数相乘得到，例如105=3×5×7，16=2×2×2×2。
1700517512
1700517513
因此，让我们开启旅程来解释为什么素数有无穷多个。用反证的方法，假设素数不是无穷的，我们可以一一列出这些剧中的“角色”。反证法是数学家工具箱中常用的叙事工具，就像《爱丽丝梦游仙境》或《绿野仙踪》一样，想象出一个完全相反的世界，并试图证明这个世界是真实的，直到故事以一个荒谬的结局告终。最终的结论说明先前的假设是错误的。
1700517514
1700517515
我们假设剧中人物（素数）由2、3、5、7、11、13组成。不难看出，有人被漏掉了（例如，17是素数，但不属于剧中的人物）。将字符相乘：
1700517516
1700517517
2×3×5×7×11×13
1700517518
1700517519
然后，将得到的结果加1：
1700517520
1700517521
2×3×5×7×11×13+1
1700517522
1700517523
这一步就像是短篇小说故事情节中出现的一个转折点，会将剧情导向一个完全出乎意料的结局。
1700517524
1700517525
这个新数字必须通过剧中人物（已有的素数，我们开启旅程时熟悉的外部环境）来构造。那么，哪个素数可以整除这个新数呢？它不可能再是剧中的人物了，因为有一个余数1。但由于素数是其他数字的约数，所以一定存在一些素数可以整除这个数。这意味着我们在设定剧中人物时，漏掉了这些素数。实际上，这个新数可以通过素数59和509相乘得到。
1700517526
1700517527
你或许会建议我将这些新角色添加到剧中，但这个故事的有趣之处就在于，它可以再讲一遍，可结果是你会发现仍然缺少一个角色。依此类推，任何有限的素数列表都会丢失一些素数，因此，素数的个数必须是无穷的。
1700517528
1700517529
证明完毕！[1]
1700517530
1700517531
[1] 数学家喜欢在证明的结尾写一个QED的标记，其源自拉丁语quod erat demonstrandum（意为“这被证明了”）的缩写。——译者注
1700517532
1700517533
1700517534
1700517535
1700517536
天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514933]
1700517537
天才与算法：人脑与AI的数学思维 意料之外的故事
1700517538
1700517539
对我来说，数学证明最重要的不是追求“证明完毕”，也不是得到的最终结果，而是整个证明的过程，即通向目的地的旅程，这就像音乐的全部并不是最后的一个和弦一样。知道素数有无穷多个这一结果固然很重要，但我们的满足感源自对其原因的理解。在阅读小说和证明数学定理时，最令人开心的莫过于将所有的线索聚集在一起揭开谜团的那个顿悟的时刻。比如，将某段音乐中的和声结构分辨出来，或者将某个谋杀之谜解开。
1700517540
1700517541
“令人惊讶”是数学的重要特质。数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）这样描述他最喜爱的数学特质：
1700517542
1700517543
我喜欢惊喜。规行矩步的论证是枯燥无味的。我喜欢意料之外的收获：全新的视角；与其他领域的交叉融合；在故事尾声处发生的大逆转。当在创作一篇新的数学作品时，我所做的选择将被一种愿望所激励，那就是带领我的读者踏上一段充满曲折和惊喜的有趣旅程。我想用一个问题跟我的读者开个玩笑：为什么两个看似毫不相干的角色应该建立关联？然后，随着证据的展开，人们会逐渐意识到，或者说突然意识到，这两个角色（概念）实际上是一样的。
1700517544
1700517545
我最喜欢的定理之一是费马发现的关于某些类型的素数具有的一个奇特性质：如果一个素数除以4后所得余数为1，那么该素数等于某两个数字的平方和。例如，41是素数，其除以4后余数为1，而41又可以写成25+16，即52 +42 。但是，这适用于所有类型的素数吗？除以4后余数为1的素数有无穷多个，为什么它们会与平方数有关？
1700517546
1700517547
对于这个故事开头，我最初的反应是难以置信。但当费马带我踏上证明之旅后，我看到了素数与平方这两个不相关的概念建立联系、融为一体，获得了巨大的满足感。它们就像一段复调音乐，两个声部以不同的主题同时进行，但最终仍然以非常和谐的方式融为一体。
1700517548
1700517549
这里举一个更简单的例子，我在第9章中提到的小游戏：将连续的奇数相加，结果会如何？
1700517550
1700517551
1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
1700517552
1700517553
N个连续的奇数相加，其结果等于第N个数的平方，其证明如图13-1所示。
1700517554
1700517555
这种满足感来自从奇数到平方数的意外之旅。当突然明白了为什么这两个明显不相干的角色之间会有联系时，我体会到了豁然开朗的喜悦。
1700517556
1700517557
1700517558
1700517559