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对我来说，数学证明最重要的不是追求“证明完毕”，也不是得到的最终结果，而是整个证明的过程，即通向目的地的旅程，这就像音乐的全部并不是最后的一个和弦一样。知道素数有无穷多个这一结果固然很重要，但我们的满足感源自对其原因的理解。在阅读小说和证明数学定理时，最令人开心的莫过于将所有的线索聚集在一起揭开谜团的那个顿悟的时刻。比如，将某段音乐中的和声结构分辨出来，或者将某个谋杀之谜解开。
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“令人惊讶”是数学的重要特质。数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）这样描述他最喜爱的数学特质：
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我喜欢惊喜。规行矩步的论证是枯燥无味的。我喜欢意料之外的收获：全新的视角；与其他领域的交叉融合；在故事尾声处发生的大逆转。当在创作一篇新的数学作品时，我所做的选择将被一种愿望所激励，那就是带领我的读者踏上一段充满曲折和惊喜的有趣旅程。我想用一个问题跟我的读者开个玩笑：为什么两个看似毫不相干的角色应该建立关联？然后，随着证据的展开，人们会逐渐意识到，或者说突然意识到，这两个角色（概念）实际上是一样的。
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我最喜欢的定理之一是费马发现的关于某些类型的素数具有的一个奇特性质：如果一个素数除以4后所得余数为1，那么该素数等于某两个数字的平方和。例如，41是素数，其除以4后余数为1，而41又可以写成25+16，即52 +42 。但是，这适用于所有类型的素数吗？除以4后余数为1的素数有无穷多个，为什么它们会与平方数有关？
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对于这个故事开头，我最初的反应是难以置信。但当费马带我踏上证明之旅后，我看到了素数与平方这两个不相关的概念建立联系、融为一体，获得了巨大的满足感。它们就像一段复调音乐，两个声部以不同的主题同时进行，但最终仍然以非常和谐的方式融为一体。
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这里举一个更简单的例子，我在第9章中提到的小游戏：将连续的奇数相加，结果会如何？
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1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
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N个连续的奇数相加，其结果等于第N个数的平方，其证明如图13-1所示。
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这种满足感来自从奇数到平方数的意外之旅。当突然明白了为什么这两个明显不相干的角色之间会有联系时，我体会到了豁然开朗的喜悦。
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图 13-1
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寻找椭圆曲线的解是数学领域最棘手的问题之一。我构建出一种新的对称元，并发现了其子群结构与椭圆曲线模p解的数目计算的相关性。在学术研讨会上给数学同行提供的证明以及在期刊上发表的论文中，我都详细陈述了数学世界的这两个截然不同的领域是如何关联的。我对自己的“数学故事”津津乐道，原因在于我喜欢看到在我的启发之下，倾听者突然顿悟时呈现在脸上的那种喜悦之情。数学家的艺术不只是创造出新的东西，还包括讲述一个令人惊讶的故事。正如庞加莱所言，它是一种选择。
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就像有时候人们在读完一本伟大的小说之后会感到悲伤，数学家在探索终结时也有自己的悲伤。我们一直享受着费马大定理带来的证明探索之旅，所以当安德鲁·怀尔斯揭开这个有着350年历史的谜题时，我们有着既快乐又悲伤的复杂之情。这就是为新故事开辟道路的证明会如此重要的原因。
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514934]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学的叙述艺术
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“悬念”这一特性是数学证明故事中经典的叙事工具。故事伊始，作者使用情节元素提出问题，让读者带着解决问题的目的继续阅读。这种叙事方法被称为阐释代码[1] ，是罗兰·巴特（Roland Barthes）提出的五种关键叙事代码之一。它是未解之谜（或未答之题）给出令人满意的数学证明的核心方法。当我们研究数学时，能给我们带来愉悦的就是那种想要解开谜团的渴望。从这个意义上说，数学证明与一部精彩的侦探小说有很多共同之处。
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数学证明都是从故事的结局开始。科幻动作或谋杀悬疑题材的作品也有类似的剧情设置。比如，《星际迷航：下一代》就从整个故事的结尾处开始：企业号星舰陷入一片火海，皮卡德下令弃船，紧接着飞船就爆炸了。虽然大多数文学作品并不追求如此戏剧性的开场，但其内部也经常会有这种时空颠倒的叙事情节。
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除了开场环节通过未解的问题制造的紧张感之外，数学故事的另一个叙事驱动力源自证明展开时的内在行动，它是通过故事情节的延续推动叙事逻辑沿着时间轴向前发展的动力。欧几里得的证明所涉及的问题是“素数有无穷多个”，证明中把素数作乘法运算后得到一个新数字。读者在心中产生疑问的同时被激发了进一步了解的兴趣：“为什么要这么做？这个新数字将作何用？”此时，行动建立。将新数字加1后，读者会更加好奇。这一系列行动结束后，故事情节将发展到高潮，最终获得解决问题的启示和方案时，读者将收获极大的满足感。这就是巴特总结的五种叙事代码中的第二个——行动代码的一个很好的例子。一系列动作的累积制造出悬念，而动作本身又隐含了下一步的叙事动作。
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巴特的另外三个代码是语义代码、符号代码和文化代码。这三种代码均围绕一个设计意图展开，即故事中的某些思想会与故事之外的事物产生共鸣，从而赋予其更多的意义。这三者都是构建数学证明的重要工具，发掘读者已有的知识以获得证明的预期效果。就像哈代所说的那样，有时候证明需要在大量历史知识或观点的“触发”下推进。就像文学故事一样，如果利用不好这些触发条件，就会大幅降低证明的效率。
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故事的总体叙事也被称为故事的原型或者主线。文学理论家们把各种故事原型进行归纳和总结，最终确定了七种不同的叙事类型，比如灰姑娘型故事、探险型故事、战争型故事等。数学故事有没有主线？当然有。数学家识别出某些证明原型，并引用其方法来帮助读者。证明方法有反证法、归纳法、概率分析法，等等。费马大定理的证明就采用了反证法：假定原命题存在对立面，按照推理规则进行推演后发现它是正确的，那么原命题就是错误的。怀尔斯的证明从假设费马方程有解开始进行探索，最终得到有悖常理的结论，而这一结论意味着初始假设是错误的。
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好的数学有一种张力[2] ，其证明既不会很复杂也不会很简单。完美的证明有其必然性，但每一步都无法提前预测。约翰·卡维尔蒂（John Cawelti）在他的《冒险、神秘和浪漫》（Adventure，Mystery，and Romance）一书中对文学作品张力的描写同样也适用于数学：“追求秩序和安全的结果可能导致单调乏味和千篇一律，但为了创新和改变而不顾秩序，则会带来危险和不确定性……文化的历史可以被诠释为在追求秩序和避免乏味之间的动态张力。”
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这种追求是一个好的证明的核心。
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很少有专业的数学家听说过Mizar项目，因为它的目的就不是让人真正感兴趣。Mizar构建的是看似包罗万象实则一无所有的“巴别图书馆”。难道它不能从我们喜爱的数学中学习，去创造我们喜爱的数学吗？当然能，它只是科技在发展过程中的一个“短暂停留”，我仍然相信机器学习的潜力。
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尽管大多数人认为音乐是与数学相关的创造性艺术，但在我看来，讲故事是最接近证明定理的创造性行为。如果数学证明是故事，那么计算机在讲故事方面的能力会有多强呢？