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这里举一个更简单的例子，我在第9章中提到的小游戏：将连续的奇数相加，结果会如何？
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1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
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N个连续的奇数相加，其结果等于第N个数的平方，其证明如图13-1所示。
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这种满足感来自从奇数到平方数的意外之旅。当突然明白了为什么这两个明显不相干的角色之间会有联系时，我体会到了豁然开朗的喜悦。
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图 13-1
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寻找椭圆曲线的解是数学领域最棘手的问题之一。我构建出一种新的对称元，并发现了其子群结构与椭圆曲线模p解的数目计算的相关性。在学术研讨会上给数学同行提供的证明以及在期刊上发表的论文中，我都详细陈述了数学世界的这两个截然不同的领域是如何关联的。我对自己的“数学故事”津津乐道，原因在于我喜欢看到在我的启发之下，倾听者突然顿悟时呈现在脸上的那种喜悦之情。数学家的艺术不只是创造出新的东西，还包括讲述一个令人惊讶的故事。正如庞加莱所言，它是一种选择。
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就像有时候人们在读完一本伟大的小说之后会感到悲伤，数学家在探索终结时也有自己的悲伤。我们一直享受着费马大定理带来的证明探索之旅，所以当安德鲁·怀尔斯揭开这个有着350年历史的谜题时，我们有着既快乐又悲伤的复杂之情。这就是为新故事开辟道路的证明会如此重要的原因。
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514934]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学的叙述艺术
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“悬念”这一特性是数学证明故事中经典的叙事工具。故事伊始，作者使用情节元素提出问题，让读者带着解决问题的目的继续阅读。这种叙事方法被称为阐释代码[1] ，是罗兰·巴特（Roland Barthes）提出的五种关键叙事代码之一。它是未解之谜（或未答之题）给出令人满意的数学证明的核心方法。当我们研究数学时，能给我们带来愉悦的就是那种想要解开谜团的渴望。从这个意义上说，数学证明与一部精彩的侦探小说有很多共同之处。
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数学证明都是从故事的结局开始。科幻动作或谋杀悬疑题材的作品也有类似的剧情设置。比如，《星际迷航：下一代》就从整个故事的结尾处开始：企业号星舰陷入一片火海，皮卡德下令弃船，紧接着飞船就爆炸了。虽然大多数文学作品并不追求如此戏剧性的开场，但其内部也经常会有这种时空颠倒的叙事情节。
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除了开场环节通过未解的问题制造的紧张感之外，数学故事的另一个叙事驱动力源自证明展开时的内在行动，它是通过故事情节的延续推动叙事逻辑沿着时间轴向前发展的动力。欧几里得的证明所涉及的问题是“素数有无穷多个”，证明中把素数作乘法运算后得到一个新数字。读者在心中产生疑问的同时被激发了进一步了解的兴趣：“为什么要这么做？这个新数字将作何用？”此时，行动建立。将新数字加1后，读者会更加好奇。这一系列行动结束后，故事情节将发展到高潮，最终获得解决问题的启示和方案时，读者将收获极大的满足感。这就是巴特总结的五种叙事代码中的第二个——行动代码的一个很好的例子。一系列动作的累积制造出悬念，而动作本身又隐含了下一步的叙事动作。
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巴特的另外三个代码是语义代码、符号代码和文化代码。这三种代码均围绕一个设计意图展开，即故事中的某些思想会与故事之外的事物产生共鸣，从而赋予其更多的意义。这三者都是构建数学证明的重要工具，发掘读者已有的知识以获得证明的预期效果。就像哈代所说的那样，有时候证明需要在大量历史知识或观点的“触发”下推进。就像文学故事一样，如果利用不好这些触发条件，就会大幅降低证明的效率。
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故事的总体叙事也被称为故事的原型或者主线。文学理论家们把各种故事原型进行归纳和总结，最终确定了七种不同的叙事类型，比如灰姑娘型故事、探险型故事、战争型故事等。数学故事有没有主线？当然有。数学家识别出某些证明原型，并引用其方法来帮助读者。证明方法有反证法、归纳法、概率分析法，等等。费马大定理的证明就采用了反证法：假定原命题存在对立面，按照推理规则进行推演后发现它是正确的，那么原命题就是错误的。怀尔斯的证明从假设费马方程有解开始进行探索，最终得到有悖常理的结论，而这一结论意味着初始假设是错误的。
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好的数学有一种张力[2] ，其证明既不会很复杂也不会很简单。完美的证明有其必然性，但每一步都无法提前预测。约翰·卡维尔蒂（John Cawelti）在他的《冒险、神秘和浪漫》（Adventure，Mystery，and Romance）一书中对文学作品张力的描写同样也适用于数学：“追求秩序和安全的结果可能导致单调乏味和千篇一律，但为了创新和改变而不顾秩序，则会带来危险和不确定性……文化的历史可以被诠释为在追求秩序和避免乏味之间的动态张力。”
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这种追求是一个好的证明的核心。
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很少有专业的数学家听说过Mizar项目，因为它的目的就不是让人真正感兴趣。Mizar构建的是看似包罗万象实则一无所有的“巴别图书馆”。难道它不能从我们喜爱的数学中学习，去创造我们喜爱的数学吗？当然能，它只是科技在发展过程中的一个“短暂停留”，我仍然相信机器学习的潜力。
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尽管大多数人认为音乐是与数学相关的创造性艺术，但在我看来，讲故事是最接近证明定理的创造性行为。如果数学证明是故事，那么计算机在讲故事方面的能力会有多强呢？
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[1] 阐释代码也称为“谜的代码”，指的是类似于侦探小说中具有设谜和解谜功能的句段。只要文本中有需要揭示的真相、需要澄清的谜团，那么这个文本就含有阐释代码，所以巴特称之为“真相的声音”。——译者注
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[2] 张力本意是让水滴圆润凝聚而不分散的力量。若某首诗具有张力，说明这首诗全篇对中心观点的凝聚感十分强烈。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514935]