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递归公式在数学领域也大有作为。假设要解一道数学问题，比如证明一项数学定理，所需遵循的规则就是数学领域中各项相关公理，包括之前已被证明过的定理。证明过程中，每一步扩展只要能被可用定理证明，即可成立。1957年，艾伦·纽厄尔（Allen Newell）、J·C·肖和赫伯特·西蒙利用这个方法设计了“通用问题解算机”，在一些疑难数学问题的解答上甚至超越了伟大数学家罗素和怀特海，人们也因此开始对早期人工智能有了信心。
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上述例子似乎证明递归法只适用于能被明确定义规则的问题，其实不然，它在艺术创作领域也大有潜力。本书作者雷·库兹韦尔的“电脑诗人”（Cybernetic Poet）就利用递归分析法，19为每个单词设计了一套标准——要押韵，符合诗歌行文结构，措辞贴合上下语境。如果无法找到与这套标准匹配的单词，程序便会删去前一个单词，重新设定标准，再选词推进。若选用的词仍不合适，则重复上述过程，不断回删设定，直到找到“心仪”的单词为止。如果所有的选词都走进了死胡同，此时程序便会放松限制条件，重新选定单词。人们只看到最终的诗歌，没人知道这个程序其实违背了自己的原则。
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递归法在音乐编曲程序中也备受青睐。这一次的“棋步”就是乐曲中的音符，20包括音高、音长、音响、演奏风格等属性。但是，如何规定预期效果就比较麻烦，我们只能对其韵律和曲调结构加以限制。利用递归法编写艺术创作程序的关键在于如何定义“最后一片树叶”，在这里，简单的方法就行不通了，人们通常会使用更复杂的方法对其进行定义。虽然我们还无法用简单的公式完整描述“智能”，但已经通过以下两方面的结合取得了极大进步：通过精确描述问题及大量运算的递归手段解决问题。就许多问题而言，20世纪末的一台个人电脑解决起来已经不在话下了。
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神经网络：自组织与人脑计算
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神经网络是一种尝试模拟人脑神经元的运算方式。我们将一系列输入视为待解决的问题。21例如，输入为一串需要识别的图像像素，这些信息就会随机构成一层模拟神经元。每个模拟神经元都可作为一个简易电脑程序，模拟人脑神经的运算模式，也可作为一条电子执行命令。
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每一个输入点（此处即图片中的每一处像素）都与第一层模拟神经元随机相连。每一个连接都有其突触强度，表示此连接的值，该值的设定也是随机的。每加入一个神经元，突触强度的信号便会相应增加。当信号增加到一定数值时，神经元就会向其输出连接发出信号；若达不到一定数值则无信号发出，输出值为零。每个神经元的输出与下一层神经元的输入随机连接。以此类推，直至最顶层的一个或多个神经元（当然也是随机选择的），向我们提供答案。
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一个问题（如印刷文字识别）提交给输入层，输出神经元就会产出结果，这种有入有出的反应对于许多问题而言可谓准确迅速。可事实上，这些反应给出的答案一点都不准确，至少开始时是不准确的。输出最初是完全随机的，既然整个系统都是基于随机性建立起来的，我们还能指望什么呢？
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我忽略了一个重要步骤，即神经网络有自己的学习任务。拿哺乳动物的大脑来说，其中的神经网络始于懵懂无知。神经网络有自己的老师，这位老师可能是人类、电脑程序或是另外一个已经完成学习任务的更加成熟的神经网络，它们在学生做对时给予奖励，反之则施以惩罚。“老师们”给出的反馈成了“学生们”调节神经细胞间连接强度的依据——加强正确的连接，减弱错误的连接。久而久之，神经网络便能独立判断连接的正误。研究证明，即使“老师们”的教学不准确，即使只有60%的内容是正确的，神经网络也能自我学习，学会判断连接的正误。
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因此，若能正确教导神经网络，这一模式便会无限强大，可以效仿更多人类的模式识别功能。文字识别系统运用多层神经网络识别潦草的字迹，其准确度非常接近人类水平。22人脸识别长久以来都被视为电脑无法企及的人脑特有功能，然而，如今美国新英格兰州一家名叫Miros的公司利用神经网络技术，发明了一种人脸识别自动取款机，可以通过识别顾客样貌确认其身份，然后允许其取款。23可别举着一张账号用户的照片就想骗过机器的识别系统，它可没那么好骗，因为人脸识别是由两台摄像机全方位立体采集图像完成的。显然这台机器非常可靠，银行可以放心地让客户取走自己的钱。
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神经网络已经在医学领域得到应用。美国加州科学软件公司开发的BrainMaker系统可以提供人体内酶的相关数据，帮助医生准确诊断心脏病。它也可以拍摄人体内部图像，帮助医生识别出癌症细胞。神经网络也擅长预测——LBS资金管理公司利用BrainMaker预测出标准普尔500指数。它提前一天甚至一星期的预测结果能够完胜传统的公式计算预测法。
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如今有很多自组织方法都是由上述神经网络模型衍生而成的。其中一种名为“马尔可夫”模型的方法在自动语音识别系统中运用广泛。如今在60 000个词汇以内，这些系统已能准确理解人类正常语速说话的内容。
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虽然递归法擅长搜索各种不同可能性的组合，比如棋步的序列，但神经网络也是模式识别的一种方式。人脑比思考逻辑组合更擅长模式的识别，正是凭借这种优势，人脑才能进行思维活动。事实上，人脑识别模式大部分都是由神经线路组成的。神经元的触发间隔时间只有5毫秒，每个神经元连接每秒内只进行200次计算。24所以，紧急情况下，我们通常想不出太多的好方法。人脑的做法是，对分析结果进行预处理，然后将分析结果存储起来以备日后参考。随后，人脑利用模式识别能力识别出与先前存储结果相似的事件，类比先前想好的解决方法做出反应。在未经事先多次思考前，人脑通常无法想出好的对策。
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信息毁灭：开启智能的钥匙
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计算转换有两种方式：一种是信息存储，另一种是信息毁灭。前一种方法的典型例子就是用除0以外的数字与常数相乘，且此过程可逆：只要将所得数字除以常数即可。但我们若用0与其他数字相乘，得到结果后过程就不可逆了，无法再回到先前的数字，因为0除以0是个不定式。此种转换便毁坏了系统的输入信息。
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这是时间不可逆的又一个例子（第一个是熵增定律），因为信息毁灭的过程同样不可逆。
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计算的不可逆性通常被视为其发挥作用的原因：它总是对信息进行单向的、“有目的”的转换。然而，计算过程的不可逆性是在毁坏信息而不是创建信息的基础上完成的。并且，计算的价值体现在其有选择性地毁灭信息。比如，人类在进行人脸或声音识别时，计算过程中需要保存携带特征信息的部分，“销毁”原始图像或声音数据中其他无用的部分。所以，“智能”也就是仔细筛选相关信息、有选择地毁坏冗余信息的过程。
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神经网络的工作原理正是如此。人脑或机器的神经细胞会接收到成百上千的连续信号，这些信号代表着不同的信息。作为回应，神经元可以选择启动或不启动，进而筛选输入信息，选择其中有用的一小部分信息。一旦神经系统经过优化训练，信息的删减过程的目的性会更强，所得结果也会更有用、更有必要性。
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我们能在人类行为及社会活动的很多层面看到此类计算范式，即将大量复杂信息精简为一个“是”或“否”的问题。法律审议便是由大量案件信息开始的，而所有审判过程的最终结果只精简到一个简单的信息——有罪或无罪，原告或是被告胜诉。虽然有些案件涉及两种审判结果，但这与我的观点并不冲突。最终的“是或否”这一结果又会引发新一轮的决策、造成其他影响。同样，在美国大选中，每个选民都会接收到大量数据（虽然并非所有信息有都用），权衡后做出最终决定：由现任者连任还是新的候选人任职。其他上百万选民也同样经过信息筛选做出最终决定，从而组成新的数据流，最终从这新的数据流中精简出一个结果——新一期任职者。
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世界上存在太多的原始数据，我们不得不销毁大部分无用的信息，保留有用的部分输入到数据库中。这就是神经元“不全则无”功能背后的真谛。
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下次大扫除想要扔掉一些没用的东西时，你就会知道删减过程的困难——有目的地销毁一些信息正是智能工作的本质所在。
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如何抓住飞行中的球
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球棒击中球后，我们可以根据球飞过来的轨迹、转向、转速以及周边风向预测球打出去的运行路线。但外场手无法直接对这些属性进行测量，只能从自己的角度观察球的走向。根据球的走向确定外场手应跑去的位置，这一过程就如求解一组极其复杂的方程式一般；随着新的视觉数据的出现，方程式中的数值也要重新设定。一个10岁的少年棒球队员若没有电脑，没有计算器，没有纸笔，未学习过任何数学课程，而且只有短短几秒钟时间，如何完成这一系列复杂的计算过程呢？
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答案是，这个少年棒球队员并未进行任何计算，只是运用了自身神经网络的模式识别能力，这种能力在很大程度上为她的技能形成打下了坚实的基础。这位棒球手虽仅有10岁，但她的神经网络已经过大量对比训练，能够识别球的飞行路线与其接球位置间的关系。一旦她学会了这项技能，这就成了她的第二本能，也就是说，她不用再费神思考怎么接球，因为她大脑中的神经网络已对此类活动有了认知：如果球从我的视线上方飞来，就往后退一步；如果低于视线的某一水平线，就往前一步……人类棒球手并不会刻意花心思解答这些等式，也不会无意识地在脑中进行计算。整个过程只有模式识别系统在运作，它也是人类思维的根基。
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所以，开启智能的钥匙之一在于了解什么是不需要计算的。一个成功人士不一定会在各方面优于其同龄人，她的模式识别天赋会告诉她哪些问题值得解答。
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建立硅网络
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