1700533654
因此余弦距离满足正定性。
1700533655
1700533656
1700533657
1700533658
1700533659
对称性 根据余弦距离的定义，有
1700533660
1700533661
（2.10）
1700533662
1700533663
因此余弦距离满足对称性。
1700533664
1700533665
1700533666
1700533667
1700533668
三角不等式 该性质并不成立，下面给出一个反例。给定A=(1,0)，B=(1,1)，C=(0,1)，则有 ，
1700533669
1700533670
（2.11）
1700533671
1700533672
1700533673
，
1700533674
1700533675
（2.12）
1700533676
1700533677
dist(A,C)=1 ，
1700533678
1700533679
（2.13）
1700533680
1700533681
因此有
1700533682
1700533683
1700533684
1700533685
1700533686
（2.14）
1700533687
1700533688
假如面试时候紧张，一时想不到反例，该怎么办呢？此时可以思考余弦距离和欧氏距离的关系。从问题1中，我们知道单位圆上欧氏距离和余弦距离满足
1700533689
1700533690
1700533691
，
1700533692
1700533693
（2.15）
1700533694
1700533695
即有如下关系
1700533696
1700533697
1700533698
1700533699
1700533700
（2.16）
1700533701
1700533702
显然在单位圆上，余弦距离和欧氏距离的范围都是[0,2]。我们已知欧氏距离是一个合法的距离，而余弦距离与欧氏距离有二次关系，自然不满足三角不等式。具体来说，可以假设A与B、B与C非常近，其欧氏距离为极小量u；此时A、B、C虽然在圆弧上，但近似在一条直线上，所以A与C的欧氏距离接近于2u。因此，A与B、B与C的余弦距离为u2/2；A与C的余弦距离接近于2u2，大于A与B、B与C的余弦距离之和。
1700533703