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对称性 根据余弦距离的定义，有
1700533660
1700533661
（2.10）
1700533662
1700533663
因此余弦距离满足对称性。
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1700533665
1700533666
1700533667
1700533668
三角不等式 该性质并不成立，下面给出一个反例。给定A=(1,0)，B=(1,1)，C=(0,1)，则有 ，
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1700533670
（2.11）
1700533671
1700533672
1700533673
，
1700533674
1700533675
（2.12）
1700533676
1700533677
dist(A,C)=1 ，
1700533678
1700533679
（2.13）
1700533680
1700533681
因此有
1700533682
1700533683
1700533684
1700533685
1700533686
（2.14）
1700533687
1700533688
假如面试时候紧张，一时想不到反例，该怎么办呢？此时可以思考余弦距离和欧氏距离的关系。从问题1中，我们知道单位圆上欧氏距离和余弦距离满足
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1700533690
1700533691
，
1700533692
1700533693
（2.15）
1700533694
1700533695
即有如下关系
1700533696
1700533697
1700533698
1700533699
1700533700
（2.16）
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1700533702
显然在单位圆上，余弦距离和欧氏距离的范围都是[0,2]。我们已知欧氏距离是一个合法的距离，而余弦距离与欧氏距离有二次关系，自然不满足三角不等式。具体来说，可以假设A与B、B与C非常近，其欧氏距离为极小量u；此时A、B、C虽然在圆弧上，但近似在一条直线上，所以A与C的欧氏距离接近于2u。因此，A与B、B与C的余弦距离为u2/2；A与C的余弦距离接近于2u2，大于A与B、B与C的余弦距离之和。
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1700533704
面试者在碰到这类基础证明类的问题时，往往会遇到一些困难。比如对面试官考察的重点“距离”的定义就不一定清晰地记得。这个时候，就需要跟面试官多沟通，在距离的定义上达成一致（要知道，面试考察的不仅是知识的掌握程度，还有面试者沟通和分析问题的能力）。要想给出一个完美的解答，就需要清晰的逻辑、严谨的思维。比如在正定性和对称性的证明过程中，只是给出含糊的表述诸如“显然满足”是不好的，应该给出一些推导。最后，三角不等式的证明/证伪中，不应表述为“我觉得满足/不满足”，而是应该积极分析给定三个点时的三角关系，或者推导其和欧氏距离的关系，这样哪怕一时找不到反例而误认为其是合法距离，也比“觉得不满足”这样蒙对正确答案要好。
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