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（4.1）
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仔细一看，其实就是样本协方差矩阵，我们将其写作Σ。另外，由于ω是单位方向向量，即有ωTω=1。因此我们要求解一个最大化问题，可表示为
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（4.2）
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引入拉格朗日乘子，并对ω求导令其等于0，便可以推出Σ ω=λω，此时
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．
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（4.3）
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熟悉线性代数的读者马上就会发现，原来，x投影后的方差就是协方差矩阵的特征值。我们要找到最大的方差也就是协方差矩阵最大的特征值，最佳投影方向就是最大特征值所对应的特征向量。次佳投影方向位于最佳投影方向的正交空间中，是第二大特征值对应的特征向量，以此类推。至此，我们得到以下几种PCA的求解方法。
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（1）对样本数据进行中心化处理。
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（2）求样本协方差矩阵。
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（3）对协方差矩阵进行特征值分解，将特征值从大到小排列。
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（4）取特征值前d大对应的特征向量ω1,ω2,…,ωd，通过以下映射将n维样本映射到d维
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（4.4）
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新的xi′的第d维就是xi在第d个主成分ωd方向上的投影，通过选取最大的d个特征值对应的特征向量，我们将方差较小的特征（噪声）抛弃，使得每个n维列向量xi被映射为d维列向量xi′，定义降维后的信息占比为
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（4.5）
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·总结与扩展·
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至此，我们从最大化投影方差的角度解释了PCA的原理、目标函数和求解方法。其实，PCA还可以用其他思路进行分析，比如从最小回归误差的角度得到新的目标函数。但最终我们会发现其对应的原理和求解方法与本文中的是等价的。另外，由于PCA是一种线性降维方法，虽然经典，但具有一定的局限性。我们可以通过核映射对PCA进行扩展得到核主成分分析（KPCA），也可以通过流形映射的降维方法，比如等距映射、局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射等，对一些PCA效果不好的复杂数据集进行非线性降维操作。
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