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注意到， 实际上就是矩阵 的迹（对角线元素之和），于是可以将式（4.9）继续化简
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．
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（4.13）
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因此式（4.8）可以写成
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．
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1700534930
（4.14）
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根据矩阵乘法的性质 ，因此优化问题可以转化为，这等价于求解带约束的优化问题
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（4.15）
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如果我们对W中的d个基依次求解，就会发现和最大方差理论的方法完全等价。比如当d=1时，我们实际求解的问题是
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（4.16）
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最佳直线ω与最大方差法求解的最佳投影方向一致，即协方差矩阵的最大特征值所对应的特征向量，差别仅是协方差矩阵Σ的一个倍数，以及常数偏差，但这并不影响我们对最大值的优化。
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·总结与扩展·
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至此，我们从最小平方误差的角度解释了PCA的原理、目标函数和求解方法。不难发现，这与最大方差角度殊途同归，从不同的目标函数出发，得到了相同的求解方法。
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