1700536700
1700536701
，
1700536702
1700536703
（7.31）
1700536704
1700536705
其中pi∈(0,h)。类似地，
1700536706
1700536707
1700536708
，
1700536709
1700536710
（7.32）
1700536711
1700536712
其中qi∈(−h,0)。两个式子相减，等号两边同时除以2h，并由于
1700536713
1700536714
1700536715
，
1700536716
1700536717
（7.33）
1700536718
1700536719
根据式（7.31）～式（7.33）可得
1700536720
1700536721
1700536722
．
1700536723
1700536724
（7.34）
1700536725
1700536726
当h充分小时，pi和qi都很接近0，可以近似认为h2项前面的系数是常数M，因此近似式的误差为
1700536727
1700536728
1700536729
1700536730
1700536731
（7.35）
1700536732
1700536733
由此可知，当h较小时，h每减小为原来的10−1，近似误差约减小为原来的10−2，即近似误差是h的高阶无穷小。
1700536734
1700536735
在实际应用中，我们随机初始化θ，取h为较小的数（例如10−7），并对 i=1,2,…,n，依次验证
1700536736
1700536737
1700536738
1700536739
1700536740
（7.36）
1700536741
1700536742
是否成立。如果对于某个下标i，该不等式不成立，则有以下两种可能。
1700536743
1700536744
（1）该下标对应的M过大。
1700536745
1700536746
（2）该梯度分量计算不正确。
1700536747
1700536748
此时可以固定θ，减小h为原来的10−1，并再次计算下标i对应的近似误差，若近似误差约减小为原来的10−2，则对应于第一种可能，我们应该采用更小的h重新做一次梯度验证；否则对应于第二种可能，我们应该检查求梯度的代码是否有错误。
1700536749