打字猴:1.700537323e+09

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1700537324 高斯分布，Box-Muller算法，拒绝采样

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1700537326 问题　如何对高斯分布进行采样？

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1700537328 难度：★★★☆☆

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1700537330 分析与解答

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1700537332 首先，假设随机变量z服从标准正态分布N(0,1)，令

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1700537334 x=σ·z+μ ，

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1700537336 （8.7）

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1700537338 则x服从均值为 μ、方差为σ2的高斯分布N(μ,σ2)。因此，任意高斯分布都可以由标准正态分布通过拉伸和平移得到，所以这里只考虑标准正态分布的采样。常见的采样方法有逆变换法、拒绝采样、重要性采样、马尔可夫蒙特卡洛采样法等。具体到高斯分布，要如何采样呢？

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1700537340 如果直接用逆变换法，基本操作步骤为：

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1700537342 （1）产生[0,1]上的均匀分布随机数u。

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1700537345 （2）令，则z服从标准正态分布。其中erf（·）是高斯误差函数，它是标准正态分布的累积分布函数经过简单平移和拉伸变换后的形式，定义如下

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1700537348 ．

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1700537350 （8.8）

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1700537352 上述逆变换法需要求解erf(x)的逆函数，这并不是一个初等函数，没有显式解，计算起来比较麻烦，所以为了避免这种非初等函数的求逆操作，Box-Muller算法提出了如下解决方案：既然单个高斯分布的累计分布函数不好求逆，那么两个独立的高斯分布的联合分布呢？假设x,y是两个服从标准正态分布的独立随机变量，它们的联合概率密度为

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