打字猴:1.700537363e+09

1700537363 ．

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1700537365 （8.10）

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1700537367 通过极坐标变换将 (x,y)转化为 (r,θ)，可以很容易求得二重积分，式（8.10）变为

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1700537370 ．

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1700537372 （8.11）

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1700537374 这里F(R)可以看成是极坐标中r的累积分布函数。由于F(R) 的计算公式比较简单，逆函数也很容易求得，所以可以利用逆变换法来对r进行采样；对于 θ ，在[0,2π]上进行均匀采样即可。这样就得到了 (r,θ)，经过坐标变换即可得到符合标准正态分布的 (x,y)。具体采样过程如下：

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1700537376 （1）产生[0,1]上的两个独立的均匀分布随机数u1,u2。

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1700537379 （2）令，则x,y服从标准正态分布，并且是相互独立的。

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1700537381 Box–Muller算法由于需要计算三角函数，相对来说还是比较耗时，而Marsaglia polar method则避开了三角函数的计算，因而更快，其具体采样操作如下：

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1700537385 （1）在单位圆盘上产生均匀分布随机数对 (x,y)（在矩形上利用拒绝采样法即可得到）。

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1700537389 （2）令s=x2+y2，则是两个服从标准正态分布的样本，其中用来代替Box-Muller算法中的cosine和sine操作。

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1700537391 除了逆变换法，我们还可以利用拒绝采样法，选择一个比较好计算累积分布逆函数的参考分布来覆盖当前正态分布（可以乘以一个常数倍），进而转化为对参考分布的采样以及对样本点的拒绝/接收操作。考虑到高斯分布的特性，这里可以用指数分布来作为参考分布。指数分布的累积分布及其逆函数都比较容易求解。由于指数分布的样本空间为x≥0，而标准正态分布的样本空间为(−∞,+∞)，因此还需要利用正态分布的对称性来在半坐标轴和全坐标轴之间转化。具体来说，取 λ=1的指数分布作为参考分布，其密度函数为

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