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1700537511 对于目标分布p(x),首先选择一个容易采样的参考条件分布q(x*|x),并令
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1700537516 (8.19)
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1700537518 然后根据如下过程进行采样:
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1700537520 (1)随机选一个初始样本x(0)。
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1700537522 (2)For t = 1, 2, 3, … :
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1700537531 根据参考条件分布抽取一个样本x*; 根据均匀分布U(0,1)产生随机数u; 若,则令,否则令。 可以证明,上述过程得到的样本序列最终会收敛到目标分布p(x)。图8.6(a)是Metropolis-Hastings算法采样过程的一个示意图,其中红线表示被拒绝的移动(维持旧样本),绿线表示被接受的移动(采纳新样本)。
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1700537533 ■ 吉布斯采样法
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1700537536 吉布斯采样法是Metropolis-Hastings算法的一个特例,其核心思想是每次只对样本的一个维度进行采样和更新。对于目标分布p(x),其中是多维向量,按如下过程进行采样:
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1700537539 (1)随机选择初始状态。
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1700537541 (2)For t = 1, 2, 3, … :
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1700537551 对于前一步产生的样本,依次采样和更新每个维度的值,即依次抽取分量,, …, ;
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1700537554 形成新的样本。
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1700537557 同样可以证明,上述过程得到的样本序列会收敛到目标分布p(x)。另外,步骤(2)中对样本每个维度的抽样和更新操作,不是必须按下标顺序进行的,可以是随机顺序。
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1700537559 在拒绝采样中,如果在某一步中采样被拒绝,则该步不会产生新样本,需要重新进行采样。与此不同,MCMC采样法每一步都会产生一个样本,只是有时候这个样本与之前的样本一样而已。另外,MCMC采样法是在不断迭代过程中逐渐收敛到平稳分布的,因此实际应用中一般会对得到的样本序列进行“burn-in”处理,即截除掉序列中最开始的一部分样本,只保留后面的样本。
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