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其中n为隐含层ht−1的维度（即隐含单元的个数），对应的n×n维矩阵，又被称为雅可比矩阵。
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由于预测的误差是沿着神经网络的每一层反向传播的，因此当雅克比矩阵的最大特征值大于1时，随着离输出越来越远，每层的梯度大小会呈指数增长，导致梯度爆炸；反之，若雅克比矩阵的最大特征值小于1，梯度的大小会呈指数缩小，产生梯度消失。对于普通的前馈网络来说，梯度消失意味着无法通过加深网络层次来改善神经网络的预测效果，因为无论如何加深网络，只有靠近输出的若干层才真正起到学习的作用。这使得循环神经网络模型很难学习到输入序列中的长距离依赖关系。
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梯度爆炸的问题可以通过梯度裁剪来缓解，即当梯度的范式大于某个给定值时，对梯度进行等比收缩。而梯度消失问题相对比较棘手，需要对模型本身进行改进。深度残差网络是对前馈神经网络的改进，通过残差学习的方式缓解了梯度消失的现象，从而使得我们能够学习到更深层的网络表示；而对于循环神经网络来说，长短时记忆模型[23]及其变种门控循环单元（Gated recurrent unit，GRU）[24]等模型通过加入门控机制，很大程度上弥补了梯度消失所带来的损失。
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百面机器学习：算法工程师带你去面试 [:1700532229]
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百面机器学习：算法工程师带你去面试 03 循环神经网络中的激活函数
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场景描述
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我们知道，在卷积神经网络等前馈神经网络中采用ReLU激活函数通常可以有效地改善梯度消失，取得更快的收敛速度和更好的收敛结果。那么在循环神经网络中可以使用ReLU作为每层神经元的激活函数吗？
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知识点
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ReLU，循环神经网络，激活函数
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问题 在循环神经网络中能否使用ReLU作为激活函数？
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难度：★★★☆☆
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分析与解答
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答案是肯定的，但是需要对矩阵的初值做一定限制，否则十分容易引发数值问题。为了解释这个问题，让我们回顾一下循环神经网络的前向传播公式
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nett=Uxt+Wht−1
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（10.9）
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ht=f(nett)
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（10.10）
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根据前向传播公式向前传递一层，可以得到
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（10.11）
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如果采用ReLU替代公式中的激活函数f，并且假设ReLU函数一直处于激活区域（即输入大于0），则有f(x)=x,。继续将其展开，nett的表达式中最终包含t个W连乘。如果W不是单位矩阵（对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵），最终的结果将会趋于0或者无穷，引发严重的数值问题。那么为什么在卷积神经网络中不会出现这样的现象呢？这是因为在卷积神经网络中每一层的权重矩阵W是不同的，并且在初始化时它们是独立同分布的，因此可以相互抵消，在多层之后一般不会出现严重的数值问题。
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再回到循环神经网络的梯度计算公式