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图14-2两个单摆之间的耦合关系
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a. 无耦合 b. 强耦合 c. 可柔耦合
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为了更清楚地理解“相干态”中“振子”是如何“耦合”的，我们用图14-2中的两个机械摆作为例子。
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图14-2a中的两个单摆之间完全没有耦合关系（no coupling）。它们绝对相互独立，也就是处于绝对“无序态”。
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而14-2b中的两个单摆之间有一根棍子，把它们两者紧紧地连在一起，我们称之为“强耦合”（strong coupling）。在这种情况下，两个单摆就如一个单摆一样，只能用同一频率摆动。这时，它们两者也就如仪仗队中的两个士兵，处于“高度有序态”。
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图14-2c的两个单摆之间是用一根可柔的线连在一起，线上又挂了一个小小的单摆。于是，这两个单摆既不完全独立，又不是完全被捆死在一起。这时候，它们之间的关系就有点像前一章图13-3的那一对舞者的关系，也就是说，它们处于“相干态”。
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我们这儿用的是机械单摆，也就是机械的“振子”。如果这两个单摆带有电荷，它们就会发射电磁波。事实上，人体内的许多“振子”，例如心脏、胃、肺、肝、肌肉等等，也是机械“振子”，但带有电荷，所以也就会发射电磁波。在这种情况下，电磁波的频率与这机械“振子”的频率密切相关。
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那么，当两个振子耦合时，频率又会出现怎样的变化呢？
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图14-2a中的两个振子相互独立。如果它们原来的本征频率就不一样，那么也就保持这两个不同的频率。也就是1＋1＝2。
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而由于强耦合，图14-2b中的两个振子事实上变成了一个，只有一个频率。也就是1＋1＝1。
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图14-2c中的两个振子最有趣了。由于它们的合作关系，会出现第三个频率，物理学称这第三个频率为“拍频”（beating frequency，图14-3）。而这时候，它们各自的本征频率依旧存在，于是就有了1＋1＝3（图14-4）。这也就是我们前面已经讨论过的相干态的算术。
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图14-3两个单摆之间有可柔性耦合时，就会出现“拍频”
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“拍频”的大小为两个本征频率之差（图14-3）。图14-4是“频谱图”（frequency spectrum），纵坐标为波幅，也就是波的能量；而横坐标为频率。从图14-3中还可以看出：由于出现了“拍频”，能量从高频区移向低频区。
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图14-4用频谱图表达的“拍频”（f1-f2）
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至今，我们讨论的还是两个“振子”，或两个波之间的相干关系。如果“振子”或波的数目不是二，而是许许多多，甚至是无穷多个的话，那么情况又会怎样呢？在这种情况下，波的频谱就不再是分离的谱，像图14-4，不是那样的一根根孤立的直线，而是变成了图14-5那样的连续谱。
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图14-5“白噪音”的频谱和“粉红色噪音”的频谱
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图14-5中表达了两种不同的典型频谱。左边的称为“白噪音”（white noise），其特点是各种不同频率的振幅相似，也就是说，能量在各种不同频率的波中分布均匀。或者说，各振子之间没有什么耦合关系，即整个系统是处于理想的“无序状态”。
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图14-5右边称为“粉红色噪音”（pink noise）或“1/f噪音”（1/f noise）。从“粉红色噪音”的频谱中，我们可以看出，能量已经从高频区移向了低频区。
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最早，“粉红色噪音”是物理学家1926年研究电子线路时发现的，当时称为“1/f噪音”。后来，物理学家花了50年时间研究为什么会出现“粉红色噪音”，而不是“白噪音”。直到20世纪70年代，物理学家才发现，“粉红色噪音”来源于电子的集团运动。
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而另一方面，音乐家则发现，所有古典音乐和民间音乐的频谱都近于“粉红色噪音”，而只有某些现代音乐才是接近“白噪音”。
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