1700725688
1700725689
1700725690
1700725691
图14-8理想的“高斯分布曲线”只能来自一个理想的混乱系统
1700725692
1700725693
“δ分布”：1＋1＝1（理想的有序系统测得的概率分布）
1700725694
1700725695
除了“高斯分布”之外，另一个重要的统计分布是“δ分布 ”（delta distribution）。“δ分布曲线”的形状极为简单，就像一个倒写的“T”字（见图14-9）。这意味着，测量数据的重复性好得惊人。不管测量多少次，数据总是一模一样，不但是毫厘不差，就是小数点以下所有的数字，都是一模一样。
1700725696
1700725697
1700725698
1700725699
1700725700
图14-9理想的“啄 分布曲线”来自一个理想的“高度有序系统”
1700725701
1700725702
当然，在真实的世界中，既不存在这样的分布，也不存在这样的系统。因为它意味着，测量数据来自一个“理想的高度有序的系统”。而真实世界中，并没有这样理想的系统。不过，这个理想化的分布，在实际计算时，还是一个重要的参考点，从而我们可确定真实测量数据分布所在的位置。因为“δ分布”的数学设定是系统中所有的元素高度相关，就像一个元素一样。也就是说：“δ分布”的背景就是1＋1＝1。
1700725703
1700725704
“对数正态分布”：1＋1＝3（理想谐和系统测得的概率分布）
1700725705
1700725706
不过，在测量和计算人体和其他有生命系统的“谐和程度”，也就是“相干程度”时，最重要的统计曲线是“对数正态分布曲线”（log-normal distribution,图14-10）。
1700725707
1700725708
1700725709
1700725710
1700725711
图14-10理想的“对数正态分布曲线”来自一个理想的相干系统，即最谐和的系统
1700725712
1700725713
“对数正态分布曲线”是一条非对称的曲线，有点像“高斯分布曲线”，但是峰值偏向左边（比较图14-10和图14-8）。长期以来，人们并没有充分注意到“对数正态分布”的重要性。
1700725714
1700725715
1969年，德国数学家沙哈（L. Sach）发现，许多生理指标，如人群的血压分布、人群的身高分布、青蛙的体重分布等等，都不服从“高斯分布”，而是服从“对数正态分布”。这显示“高斯分布”主要来自于无生命系统，而“对数正态分布”则与生命系统有关。
1700725716
1700725717
1994年，本书作者从数学上证明了“对数正态分布”来自一个具有无限多元素的系统，在这个系统中，每一个元素都具有独立性，而同时又具有与所有其他元素合作的可能性。也就是说，如果测量数据出现“对数正态分布”，就表示这个系统处于理想的相干态，即最谐和的状态，犹如美丽的芭蕾舞。也就是说，这时1＋1＝3。
1700725718
1700725719
这一来，音乐的“谐和”和芭蕾舞的“美丽”等等，再也不是一种模模糊糊的艺术单词，它们也开始进入可以被客观测量、被定量计算和评估的科学领域。
1700725720
1700725721
“无穷维空间”与“谐和金字塔”
1700725722
1700725723
现在，我们已经讨论了系统的三种典型的状态：“无序态”、“有序态”和“相干态”。我们也讨论了三种不同的基本数学运算：“1＋1＝2”、“1＋1＝1”和“1＋1＝3”。我们还讨论了三种不同的“概率分布”：“高斯分布”、“δ分布”和“对数正态分布”。从而我们知道了这三种不同状态的数学基础和统计方法。
1700725724
1700725725
然而，这三种状态，都只是理想的状态，而一个真实系统的实际状态与这三种理想状态都不一样（见图14-6），或者说是，往往是在这三者之间。当然，我们可以粗略地说，图14-6左边的曲线靠近“高斯分布曲线”，而右边的曲线靠近“对数分布曲线”。但是，从科学和数学的角度来看，这个“靠近”是一种很不精确的描写。我们希望知道，这个“靠近”到底有“多远”，到底有“多近”？是几千米远呢？还是几厘米近？还是几毫米近？
1700725726
1700725727
于是，我们就面临另一个很实际的计算问题，即要确定一个实际系统所处状态的精确“位置”（position），这样才能定量地算出“多远”或“多近”。
1700725728
1700725729
而要确定一个“位置”，我们首先就要有一个明确的“距离”（distance）。通常我们所说的距离是指两个点之间的某种度量。但是，要说出这出芭蕾舞离最美的标准还有多少远的“距离”，真有点匪夷所思。即使我们现在有了分布曲线，但每一条曲线上又有无穷多个点。那么，我们又怎样来计算两条弯弯扭扭的曲线之间的“距离”呢？
1700725730
1700725731
非常幸运的是，我们那位德国哥廷根大学的高斯教授，世界数学之王，有一位非常杰出的接班人，名为希尔伯特（David Hilbert，1864—1943，图14-11）。他早就为我们解决了这个极为复杂的“距离”的计算问题。
1700725732
1700725733
希尔伯特教授不愧是高斯的好接班人，他也成了一代世界数学之王，还成了20世纪这整整100年数学发展的指路人。可能许多中国读者都还记得著名的“哥德巴赫猜想”。为了解决这个难题，中国的著名数学家王元教授和陈景润教授都付出了毕生的精力。然而，“哥德巴赫猜想”还只是希尔伯特在20世纪初列出的23个难题之一。事实上，希尔伯特提出的这23个难题，包括“哥德巴赫猜想”、“黎曼猜想”、“连续统问题”等等，这些问题成了20世纪全世界数学发展的导航图。
1700725734
1700725735
1700725736
1700725737