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让我们通过一个典型的物理过程看看以上方法的工作原理。考虑一个充满气体的容器，里面存在大量气体分子。这个系统的终极描述存在于微观层次：微观描述必须告诉我们每个气体分子的位置和运动，这需要大量信息。但这个系统还有一个宏观层次，在宏观描述中，我们可以用密度、温度、压力来描述气体。
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指明气体的密度和温度所需的信息，远远少于指明每个气体分子所处位置的信息。因此，把系统的微观描述翻译为宏观描述相对简单，而反过来则非常困难。如果你知道每个原子所处的位置，你就会知道气体的密度和温度，后者是气体原子的平均动能。而宏观描述却不可能翻译成微观描述。这是因为给定一个气体密度和压强，可以有许多不同的分子排列方式。
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在将微观态翻译成宏观态的过程中，追踪给定宏观态所对应的微观态数量非常有用。在建筑的例子中，这个数字由宏观构造的熵给出。请注意，“熵”只可能是宏观态的性质。由此看出，熵是一个演生出来的性质；谈某个系统的微观态有多少熵，完全没有意义。
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接下来，我们要把熵和概率相联系。你可以通过一个假设完成这一步，即所有的微观态都有相同的概率，这是个很现实的假设。气体中的每个分子都在混沌运动，它们的排列经常被推倒从来，它们的运动也因此非常随机。一个宏观态对应的微观态越多，换句话说，宏观态的熵越高，它就越有可能被实现。其中最有可能的宏观态被称为“平衡态”。在平衡态中，所有微观粒子都在随机运动。平衡态也拥有着最高的熵。
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让我们把一只猫分解为猫原子，再和屋内的气体原子随机混合。结果，在大多数微观态中，猫原子中随机混杂着气体原子。只在极少的微观态中，猫原子重新组成了猫，坐在一旁的沙发上，边舔着毛边叫。混合原子的重新排列很难组合出猫。所以对比两种原子的随机混合，猫的熵很低，信息量很高。
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气体中的分子运动更加混沌，分子间经常碰撞。当碰撞发生后，两个分子会互相远离，运动的方向有着或多或少的随机性。所以，随着时间发展，微观态更倾向于被推倒重来。即使初始时的微观态并不随机，很快，这个微观态也会变得随机。这意味着，如果初始态是个熵很低的非平衡态，那么随着时间发展，系统的微观态很有可能会变得越来越随机，系综的熵也会不断增加，即熵增。以上就是热力学第二定律。
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让我们通过一个简单的实验看看热力学第二定律的工作原理。我们需要一副纸牌和一个庄家。实验开始时，牌依大小顺序排列。此后，每过一秒钟，庄家会洗一次牌。我们想要观测的是，多次洗牌后，这副牌的顺序会发生何种变化。
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开始时，牌是按大小顺序排列的。每洗一次，牌的顺序就变得越发随机，这副牌的熵不断增加。洗了足够多次牌以后，我们再也无法将牌的顺序和随机顺序加以区别。于是，纸牌完全丧失了初始顺序的记忆。
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热力学第二定律紧紧抓住了这一有序消散为无序的过程。在定理看来，洗牌的过程毁坏了实验开始时牌堆的特殊顺序，将其替换为随机顺序。
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熵增不是永恒的。每过一段时间，纸牌的熵会在洗牌后下降——在我们的例子中，这意味着纸牌回归了初始状态。洗牌后熵增加的概率要比洗牌后熵降低的概率多很多。牌堆中的牌越多，通过洗牌重现初态的概率就越小。也就是说，从一次初态重现到下一次初态重现的间隔时间会变长。这段间隔时间被称为“庞加莱回归时间”（Poincaré recurrence time）。如果你观察系统的时间远远小于庞加莱回归时间，你很有可能会看到系统熵增；当你的观察时间大于庞加莱回归时间时，就有很大机会看到系统熵减。
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随机性在洗牌中所起的作用完全可以照搬到气体之中。完全有序的气体原子位形确实存在。在这样的位形中，所有的气体原子都在箱子的一侧，并向同一个方向运动。这些位形类似于完全按大小排列的纸牌。但是，尽管这些完全有序的位形存在，它们较之原子随机分布、随机运动的位形要稀有得多。
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如果让所有的原子在初始时都聚在箱子的一角，朝着同一方向运动，我们将会看到，伴随着原子运动，它们之间相互散射，原子朝着各个角落扩散，很快就会布满整个盒子。经过一段时间之后，原子的位置变得完全随机，原子的密度变得非常均匀。
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与之同步，原子的运动方向及其动能也因碰撞而随机化。最终，大多数原子的能量将接近平均能量，也就是系统的温度。
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无论初始时间的位形是多么有序、多么不平凡，一段时间之后，盒中的原子将被随机化，有均一的密度和温度。这个状态就是平衡态。气体一旦抵达平衡态，就很有可能一直保持平衡态。
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在这个背景下，热力学第二定律指出，系统的熵在短时间内极有可能增加，至少保持不变。如果你从非平衡态开始系统演化，这样的初始位形出现概率比较低，熵也比较低。这类情况下，最有可能发生的事情就是，系统将进一步通过原子碰撞随机化，以增加系统位形的出现概率。于是，系统就会熵增。如果从平衡态开始演化，系统位形的随机度已经达到了最大值，因而熵也达到了最大值。此时，最有可能发生的事情是系统会继续保持在随机状态。可如果你对这些原子进行很长时间的观测，就像上文提到的那样，一些不大可能发生的涨落将会发生，原子会回到更加有序的状态。在这些小概率的涨落中，最有可能发生的涨落最不易察觉：盒中某处的原子密度略有增高，其他地方的密度略有降低。有些涨落可以将所有粒子归位到盒子的一角，这种涨落发生的可能性较前一种涨落要小很多。但只要时间足够，所有涨落都可能发生，无论它们的发生概率多小。
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无须长时间的等待，你便可以看到这些涨落的物理效应。让爱因斯坦名满天下的成就之一，就是研究液体中分子的涨落，以阐明原子的存在。他假设，构成诸如水之类的液体的分子都在进行随机运动。接着他设想，如果把类似花粉的小颗粒浸到水中，这些分子的随机运动会对颗粒的运动产生影响。水分子实在太小，无法观察。但是，我们可以通过显微镜观察颗粒的运动，间接测得它们的影响。大量分子不断随机碰撞着颗粒。颗粒因此开始随机舞蹈。
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通过测量花粉粒子的舞蹈强度，能推算出每秒钟作用在花粉上的分子有多少，作用的力是什么力。在1905年的一篇论文中，爱因斯坦对原子的性质作出了可被实验验证的预言，其中包括一克水中含有多少原子。[5]这些预言后来被实验证实。通过花粉实验和其他许多类似实验，我们知道，这样的涨落确实存在，它们是热力学故事的一部分。
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这些涨落解决了早期热力学研究中的一个主要难题。最早，热力学定律的引入没有使用原子或概率的概念。气体和液体被认为是连续介质。熵和温度被认为是第一性的，其定义完全和概率无关。在最初的版本中，热力学第二定律就是在简单地声明，熵在任何过程中要么增加，要么保持不变。另一条定律声称，当熵取最大值时，系统有一个唯一的温度。
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我们总是从过去移往将来
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19世纪中期，詹姆斯·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和路德维希·玻尔兹曼开始假设，物质由随机运动的原子构成。他们试图将统计学应用于大量原子的运动中，从而重新推导热力学定律。举例来说，他们提出温度就是原子随机运动的平均动能。他们引入了现在我们看到的熵和热力学第二定律。
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但当时大多数物理学家并不相信原子说。相应地，他们拒绝接受热力学定律起源于原子运动，并提出了一些强有力的论证，以说明原子运动无法推导出热力学定律。其中一个论证如下：原子的运动定律（假设存在）一定具有时间可逆性（正如我在第5章中讨论的那样）。如果有一段电影，讲的是一堆原子按照牛顿定律如何运动，当你把电影倒放时，你看到的影像和牛顿定律并不矛盾。但是，热力学第二定律不具有时间可逆性，因为熵永远在增加，或至少保持不变，但永远不会降低。这些怀疑论者认为，具备时间可逆性的定律——那些掌管原子运动的定律，一定推导不出不具备时间可逆性的定律。
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这个问题的答案由保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）和塔蒂亚娜·埃伦费斯特（Tatiana Ehrenfest）给出。这对年轻夫妇是玻尔兹曼的门徒，后来他们成了爱因斯坦的朋友。[6]他们的研究显示，原子论之前的热力学第二定理是错误的。因为有时熵确实会降低，只是降低的概率很低。但只要你等待足够长的时间，偶然涨落有可能降低系统的熵。因此，想要弥合热力学定律和原子所遵循的时间可逆定律，涨落必不可少。
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然而，即便在这幅被修正过的图景之中，我们仍然看不到未来的希望。根据以上原则，任何孤立系统最终会抵达平衡态——在平衡态中，有意义的累积变化并不存在，结构或复杂度也不会成长。唯一存在的是那漫无边际的平衡状态，什么都不会发生，除了随机涨落之外。
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处于平衡态的宇宙不可能具有复杂性。倘若复杂结构存在，随机过程可以将其破坏，使系统重回平衡态。这并不意味着，我们可以用熵有多低来描述复杂度有多高。想要全面塑造复杂度，我们需要一些超越平衡态热力学的概念（这是第17章的主题）。
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