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[2].数学家们喜欢将曲线、数字等概念称作数学“对象”，这意味着它们是某种真实存在。如果你介意于这一术语背后所蕴含的激进哲学思想，请不妨将它们称作数学“概念”。在讨论数学相关的话题时，我会交替使用“对象”和“概念”这两个单词。借此我试图说明，我对它们的存在与否并没有预设的立场。
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[3].如果说数学真理完全独立于时间也不正确。作为人类，我们的认知与思考成型于某些特定的时间点。这些紧随时间的思考中就包含了思考数学对象。我想说的是，这些数学对象本身似乎并不存在于时间之中。数学对象就是如此简单，你无法创造它们，也无法改变它们。
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[4].包括阿兰·康纳斯（Alain Connes）在内的许多大数学家也对此深信不疑。详见：Jean-Pierre Changeux&Alain Connes，Conversations on Mind, Matter, and Mathematics，ed.&trans.M.B.DeBevoise（Princeton, NJ：Princeton University Press，1998）.
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[1].或许有人会问，古人是否注意到了喷泉的水柱划出的抛物线的轨迹。的确，一些希腊花瓶的装饰图纹上出现了喷泉水柱沿着类抛物线下落的场景。这样看来，在古希腊，完全有可能出现一位数学家，通过观察水柱下落进而思考是不是所有物体均沿抛物线轨迹下落。
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[2].Aristotle, On the Heavens, Book 1，chapter 3.
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[3].我知道不少数学家和物理学家曾踟蹰于到底选择音乐还是科学作为职业。比如，乔奥·马古悠（João Magueijo）年轻时的专业是谱写当代古典音乐。后来他转向物理学，并发誓再也不碰钢琴。结识他对我想象伽利略的性格帮助很大。
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[4].图源：Peter Apian，Cosmographia（1539）。重印版见：Alexandre Koyre，From the Closed World to the Infinite Universe（Baltimore, MD；Johns Hopkins，1957）。
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[5].2009 年，西班牙籍智利裔导演亚历桑德罗·阿曼巴（Alejandro Amenábar）在其影片《城市广场》（Agora）中描绘了这样的可能性。
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[6].在《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）一书中，牛顿使用了更为基础的数学，而不是微积分，来展示其运动定律的推论。这看似令人费解，实则不足为奇。当时，牛顿尚未发表微积分，他需要用一种读者已知的数学语言来解释他的发现。
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[7].让我们以一个在地表附近下落的球体为例。组成地球的所有原子都会与它发生引力作用。牛顿的洞见之一是，这些力可以互相叠加，其结果等价于一个质心位于地心的单一物体与球发生的引力作用。当我们往上抛球时，它离地心的距离将改变若干米。这一改变与地球半径相比微不足道，球感受到的引力因而没有什么变化。我们可以把物体上抛或下落时的引力设为常数。这意味着，物体的加速度是一个常数，这正是伽利略的伟大发现。
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[1].一些人可能认为数学可以随时间演化，比如说f（t）就可以代表一个随时间变化的函数。然而，f（t）函数本身不会随时间演化。
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[1].Sara Diamond et al.，CodeZebra Habituation Cage Performances（Rotterdam：Dutch Electronic Arts Festival，2003）.
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[2].感谢圣·克莱尔·西敏（Saint Clair Cemin）参与这个讨论。
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[3].让我们考虑一个由多个星体组成的系统，星体之间存在着引力相互作用，且我们可以精确地描述两体之间的引力作用。牛顿发现了这个问题的精确解。但当我们试图描述三体之间的引力作用时，我们发现，精确解并不存在。对于三体或三体以上系统，我们仅能得到近似解。此类系统具有混沌等诸多特性。尽管两体系统早在17世纪便被牛顿解决，它的自然拓展——三体系统的诸多特性直到20世纪初才被法国数学家儒勒·庞加莱（Henri Poincaré）发现。对于三体问题的种种努力开创了一个新的数学分支：混沌理论。最近，超级计算机实现了百万数量级多体系统的仿真。这些仿真使得我们可以深入地了解恒星在星系中的运动，以及星系在星系团中的运动。然而，尽管这些仿真非常有用，我们不应忘记它们也是近似解。尽管恒星由无数原子组成，尽管它们的运动受到系统之外的宇宙的影响，在仿真中它们总是被当作质点，不受任何系统之外的影响。
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[1].在第16和17章中，我们将提及热力学定律带来的一系列佯谬并对它们加以解释。举例来说，熵增原理指出，宇宙中的熵总随时间增加，因而时间拥有箭头，不可逆转；然而基础物理定律都具有时间可逆性。
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[2].Ludwig Boltzmann, Lectures on Gas Theory（Dover Publications，2011）.
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[1].The Principle of Relativity（Dover Publications，1952）。书中收录了爱因斯坦的七篇论文，两篇亨德里克·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）的论文，一篇赫尔曼·外尔的论文，以及一篇赫尔曼·闵可夫斯基的论文。
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[2].“On the Electrodynamics of Moving Bodies，”Ann. der Phys.17（10）：891-921；“Does the Inertia of a Body Depend upon Its Energy Content?”Ann.der Phys.18：639-41（1905）.
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[3].如果读者希望看到这些解释，可登陆www.timereborn.com查看附录。
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[4].严格地说，我们不需要将光速作为所有物体的速度上限。此处，我们这样讲只是为了表述上的简洁。
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