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[1].一些人可能认为数学可以随时间演化,比如说f(t)就可以代表一个随时间变化的函数。然而,f(t)函数本身不会随时间演化。
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[1].Sara Diamond et al.,CodeZebra Habituation Cage Performances(Rotterdam:Dutch Electronic Arts Festival,2003).
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[2].感谢圣·克莱尔·西敏(Saint Clair Cemin)参与这个讨论。
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[3].让我们考虑一个由多个星体组成的系统,星体之间存在着引力相互作用,且我们可以精确地描述两体之间的引力作用。牛顿发现了这个问题的精确解。但当我们试图描述三体之间的引力作用时,我们发现,精确解并不存在。对于三体或三体以上系统,我们仅能得到近似解。此类系统具有混沌等诸多特性。尽管两体系统早在17世纪便被牛顿解决,它的自然拓展——三体系统的诸多特性直到20世纪初才被法国数学家儒勒·庞加莱(Henri Poincaré)发现。对于三体问题的种种努力开创了一个新的数学分支:混沌理论。最近,超级计算机实现了百万数量级多体系统的仿真。这些仿真使得我们可以深入地了解恒星在星系中的运动,以及星系在星系团中的运动。然而,尽管这些仿真非常有用,我们不应忘记它们也是近似解。尽管恒星由无数原子组成,尽管它们的运动受到系统之外的宇宙的影响,在仿真中它们总是被当作质点,不受任何系统之外的影响。
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[1].在第16和17章中,我们将提及热力学定律带来的一系列佯谬并对它们加以解释。举例来说,熵增原理指出,宇宙中的熵总随时间增加,因而时间拥有箭头,不可逆转;然而基础物理定律都具有时间可逆性。
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[2].Ludwig Boltzmann, Lectures on Gas Theory(Dover Publications,2011).
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[1].The Principle of Relativity(Dover Publications,1952)。书中收录了爱因斯坦的七篇论文,两篇亨德里克·洛伦兹(Hendrik Antoon Lorentz)的论文,一篇赫尔曼·外尔的论文,以及一篇赫尔曼·闵可夫斯基的论文。
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[2].“On the Electrodynamics of Moving Bodies,”Ann. der Phys.17(10):891-921;“Does the Inertia of a Body Depend upon Its Energy Content?”Ann.der Phys.18:639-41(1905).
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[3].如果读者希望看到这些解释,可登陆www.timereborn.com查看附录。
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[4].严格地说,我们不需要将光速作为所有物体的速度上限。此处,我们这样讲只是为了表述上的简洁。
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[5].这并不是在说,我们无论如何都无法知道两件事是否同时发生。这里讲的是,不同的观测者对于两件事是否同时发生有着不同的答案,所以这个问题没有客观答案。
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[6].这并不是说,在这两个事件之间,所有时钟的时针都会走过相同的格数。假设时钟A和B相向运动。在正午时刻,它们正好相遇,然后相互分离。这之后,时钟A反向加速,折返方向并开始追赶时钟B。当时钟A反超时钟B时,时钟B显示12点01分。可时钟A会因为加速作用,显示另一个时间。需要注意的是,所有观测者都会对两个事件之间时钟A走过的格数,或是时钟B走过的格数表示一致认同,尽管两者的格数不同。两个事件之间,走得最快的时钟一定是处于自由落体状态下的时钟。正是由于自由落体的时钟所测量的时间包含这一特殊性,我们称之为原时。
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[7].Hermann Weyl,Philosophy of Mathematics and Natural Science(Princeton, NJ:Princeton University Press,1949).
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[8].如果时空中空间是有限的,那么我们仍然可以从任意事件A走到其未来事件B,只是途中要经由许多中间事件X。因此,假设闵可夫斯基时空的无限性只是帮助我们简化论证,它并不是论证成立所必须的。
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[9].Hilary Putnam,“Time and Physical Geometry,”Jour.Phil.64:240-47(1967).
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[10].John Randolph Lucas,The Future(Oxford, U.K.:Blackwell,1990)p.8.
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[11].空间测地线的定义与时空测地线定义正好“相反”。前者定义为两点之间最短距离所对应的路径,后者定义为两个事件间最长原时所对应的路径。这源于时空几何的古怪特性;一个自由下坠的时钟总比其他时钟走得快。因此相比于其他时钟,它也会更频繁地穿梭于两个事件之间。基于以上事实,我想到了一个忠告:想要永葆青春的话,就请加速吧。
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[12].物理学家称这一特性为“广义协变性”(general coordinate invariance),它与微分同胚不变性(diffeomorphism invariance)密切相关。在牛顿力学框架下,我们也可以把时钟当成系统的一部分,对于时钟的选择,我们依然拥有完全的自由。这套理论由朱利安·巴伯和布鲁诺·贝尔托蒂(Bruno Bertotti)合作完成。这使得牛顿范式具有一定的相对性。但是,整个范式的根基依然是,永恒不变的物理定律作用于永恒不变的位形空间。
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[1].Charles W.Misner, Kip S.Thorne,&John Archibald Wheeler,Gravitation(San Francisco:W.H.Freeman,1973).
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[2].在本书的在线附录中,你可以找到更多量子力学诠释方面的信息,以及这些诠释与本书观点的联系。
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