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[1].一些人可能认为数学可以随时间演化，比如说f（t）就可以代表一个随时间变化的函数。然而，f（t）函数本身不会随时间演化。
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[1].Sara Diamond et al.，CodeZebra Habituation Cage Performances（Rotterdam：Dutch Electronic Arts Festival，2003）.
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[2].感谢圣·克莱尔·西敏（Saint Clair Cemin）参与这个讨论。
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[3].让我们考虑一个由多个星体组成的系统，星体之间存在着引力相互作用，且我们可以精确地描述两体之间的引力作用。牛顿发现了这个问题的精确解。但当我们试图描述三体之间的引力作用时，我们发现，精确解并不存在。对于三体或三体以上系统，我们仅能得到近似解。此类系统具有混沌等诸多特性。尽管两体系统早在17世纪便被牛顿解决，它的自然拓展——三体系统的诸多特性直到20世纪初才被法国数学家儒勒·庞加莱（Henri Poincaré）发现。对于三体问题的种种努力开创了一个新的数学分支：混沌理论。最近，超级计算机实现了百万数量级多体系统的仿真。这些仿真使得我们可以深入地了解恒星在星系中的运动，以及星系在星系团中的运动。然而，尽管这些仿真非常有用，我们不应忘记它们也是近似解。尽管恒星由无数原子组成，尽管它们的运动受到系统之外的宇宙的影响，在仿真中它们总是被当作质点，不受任何系统之外的影响。
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[1].在第16和17章中，我们将提及热力学定律带来的一系列佯谬并对它们加以解释。举例来说，熵增原理指出，宇宙中的熵总随时间增加，因而时间拥有箭头，不可逆转；然而基础物理定律都具有时间可逆性。
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[2].Ludwig Boltzmann, Lectures on Gas Theory（Dover Publications，2011）.
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[1].The Principle of Relativity（Dover Publications，1952）。书中收录了爱因斯坦的七篇论文，两篇亨德里克·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）的论文，一篇赫尔曼·外尔的论文，以及一篇赫尔曼·闵可夫斯基的论文。
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[2].“On the Electrodynamics of Moving Bodies，”Ann. der Phys.17（10）：891-921；“Does the Inertia of a Body Depend upon Its Energy Content?”Ann.der Phys.18：639-41（1905）.
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[3].如果读者希望看到这些解释，可登陆www.timereborn.com查看附录。
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[4].严格地说，我们不需要将光速作为所有物体的速度上限。此处，我们这样讲只是为了表述上的简洁。
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[5].这并不是在说，我们无论如何都无法知道两件事是否同时发生。这里讲的是，不同的观测者对于两件事是否同时发生有着不同的答案，所以这个问题没有客观答案。
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[6].这并不是说，在这两个事件之间，所有时钟的时针都会走过相同的格数。假设时钟A和B相向运动。在正午时刻，它们正好相遇，然后相互分离。这之后，时钟A反向加速，折返方向并开始追赶时钟B。当时钟A反超时钟B时，时钟B显示12点01分。可时钟A会因为加速作用，显示另一个时间。需要注意的是，所有观测者都会对两个事件之间时钟A走过的格数，或是时钟B走过的格数表示一致认同，尽管两者的格数不同。两个事件之间，走得最快的时钟一定是处于自由落体状态下的时钟。正是由于自由落体的时钟所测量的时间包含这一特殊性，我们称之为原时。
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[7].Hermann Weyl，Philosophy of Mathematics and Natural Science（Princeton, NJ：Princeton University Press，1949）.
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[8].如果时空中空间是有限的，那么我们仍然可以从任意事件A走到其未来事件B，只是途中要经由许多中间事件X。因此，假设闵可夫斯基时空的无限性只是帮助我们简化论证，它并不是论证成立所必须的。
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[9].Hilary Putnam，“Time and Physical Geometry，”Jour.Phil.64：240-47（1967）.
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[10].John Randolph Lucas，The Future（Oxford, U.K.：Blackwell，1990）p.8.
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[11].空间测地线的定义与时空测地线定义正好“相反”。前者定义为两点之间最短距离所对应的路径，后者定义为两个事件间最长原时所对应的路径。这源于时空几何的古怪特性；一个自由下坠的时钟总比其他时钟走得快。因此相比于其他时钟，它也会更频繁地穿梭于两个事件之间。基于以上事实，我想到了一个忠告：想要永葆青春的话，就请加速吧。
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[12].物理学家称这一特性为“广义协变性”（general coordinate invariance），它与微分同胚不变性（diffeomorphism invariance）密切相关。在牛顿力学框架下，我们也可以把时钟当成系统的一部分，对于时钟的选择，我们依然拥有完全的自由。这套理论由朱利安·巴伯和布鲁诺·贝尔托蒂（Bruno Bertotti）合作完成。这使得牛顿范式具有一定的相对性。但是，整个范式的根基依然是，永恒不变的物理定律作用于永恒不变的位形空间。
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[1].Charles W.Misner, Kip S.Thorne，&John Archibald Wheeler，Gravitation（San Francisco：W.H.Freeman，1973）.
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[2].在本书的在线附录中，你可以找到更多量子力学诠释方面的信息，以及这些诠释与本书观点的联系。
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