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[3].在广义相对论的实际应用中，我们常常把拥有无穷远边界的系统看作孤立
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系统。以星系为例。现实中，星系只是宇宙中的一小部分，但对于某个我们关心的模型来说，它可以被视为孤立系统。举例来说，我们想建立一个模型，描述星系中心的黑洞与星系盘上的恒星之间的相互作用。我们会在星系之外画一条边界，对边界之内的星系建模，构造广义相对论的解。但是，想要指明一个有限边界上的信息，我们会遇到一些技术上的麻烦。纯粹出于技术上的方便考量，我们将实际情况理想化，将边界推至无穷远处。这大大简化了我们的描述，因为现在，所有模型中的物质都藏在一个星系内。没有什么东西可以进出星系，除了我们借以观测星系的光波和引力波以外。这类无限空间的使用完全出于实用主义，我们没有什么理由对其表示反对。我们需要指明无穷远处边界上的信息，对我们而言，这恰恰是一种提醒。它告诉我们，我们处理的是理想化系统。我们将局部系统从宇宙中切出，然后假设系统外什么都不存在。然而，如果有模型认为整个宇宙存在边界，那这个模型就非常荒谬，因为它要求我们指明是什么从无穷大的宇宙之外进入宇宙之内。然而，当我们将广义相对论应用于无穷大的宇宙时，我们不得不指明这些事物。
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[4].想更深入地了解此类循环宇宙的读者，请参考：Paul J.Steinhardt&Neil Turok，Endless Universe：Beyond the Big Bang（New York：Doubleday，2007）。
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[5].Martin Bojowald，“Isotropic Loop Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0202077v1（2002）；
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——，“Inflation from Quantum Geometry”，arXiv：gr-qc/0206054vi（2002）；
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——，“The Semiclassical Limit of Loop Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0105113v1（2001）；
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——，“Dynamical Initial Conditions in Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0104072v1（2001）；
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Shinji Tsujikawa, Parampreet Singh，&Roy Maartens，“Loop Quantum Gravity Effects on Inflation and the CMB”，arXiv：astro-ph/0311015v3（2004）.
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[6].Jean-Luc Lehners，“Diversity in the Phoenix Universe”，arXiv：1107.4551v1[hep-ph]（2011）.
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[7].Roger Penrose，Cycles of Time：An Extraordinary New View of the Universe（New York：Knopf，2011）.
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[8].一些文章声称探测到了这类圆圈，参见：
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V. G.Gurzadyan&R.Penrose，“CCC-Predicted Low-Variance Circles in CMB Sky and LCDM”，arXiv：1104.5675v1[astro-ph.CO]（2011）；
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——，“More on the Low-Variance Circles in CMB Sky”，arXiv：1012. 1486v1[astro-ph.CO]（2010）；
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——，“Concentric Circles in WMAP Data May Provide Evidence of Violent Pre-Big-Bang Activity”，arXiv：1011. 3706v1[astro-ph.CO]（2010）.
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一些文章声称这类圆圈不过是噪声，参见：
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I. K.Wehus&H.K.Eriksen，“A Search for Concentric Circles in the 7-Year WMAP Temperature Sky Maps”，arXiv：1012.1268v1[astro-ph.CO]（2010）；Adam Moss, Douglas Scott，&James P.Zibin，“No Evidence for Anomalously Low-Variance Circles on the Sky”，arXiv：1012.1305v3[astro-ph.CO]（2011）；and Amir Hajian，“Are There Echoes from the Pre-Big Bang Universe?A Search for Low-Variance Circles in the CMB Sky”，arXiv：1012.1656v1（2010）.
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[1].实现这一想法的具体模型参见：Lee Smolin，“Matrix Universality of Gauge and Gravitational Dynamics”，arXiv：0803.2926v2[hep-th]（2008）。
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[2].——，“Unification of the State with the Dynamical Law”，arXiv：1201. 2632v1[hep-th]（2012）.
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[3].惠勒也说过：“没有什么现象是真实的，除非它是一个被观测到的现象。”我必须承认，随着年岁增长，我越发欣赏惠勒这种神秘且充满挑衅的挑战。
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结 语 未来，于时间内求索
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[1].想要了解更多，可参考：Lee Smolin，“Time and Symmetry in Models of Econo-mic Markets”，arXiv：0902.4274v1[q-fin.GN]（2009）。
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[2].新古典经济学的入门书籍，参见：Ross M.Starr，General Equilibrium Theory，2nd edition（New York：Cambridge University Press，2011）。
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[3].桑南夏恩-曼特尔-德布鲁定律（Sonnenschein-Mantel-Debreu theorem）展示了这一点。这个定律也被称作“任何事情都会发生定律”。1972年，三名极具影响力的经济学家证明了这个定律，其中一位是雨果·桑南夏恩（Hugo Sonnenschein）。他不仅是芝加哥经济学派的成员之一，也曾担任芝加哥大学校长。详见：Hugo Sonnenschein，“Market Excess Demand Functions”，Econometrica，40：3，549-63（1972）.Debreu, G.“Excess Demand Functions”，Journal of Mathematical Economics1：15-21（1974），doi：10.1016/0304-4068（74）90032-9；R.Mantel，“On the Characterization of Aggregate Excess Demand”，Jour.of Econ.Theory7：348-353（1974），doi：10.1016/0022-0531（74）90100-8。
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[4].W.Brian Arthur，“Competing Technologies, Increasing Returns, and Lock-In by Historical Events”，Econ.Jour.99：394，116-31（1989）.
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