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二、授时历实测太阳：自冬至春分行一象限91.31度，需时88.91日。每日行一度余。88.91日盈积2.40度。夏至至秋分行一象限91.31度，需时93.71日，每日行一度不到。93.71日缩亦2.40度。春分至夏至与夏至至秋分同；秋分至冬至与冬至至春分同。授时应用“四丈铜表”、“横梁”、“景符”与“量天尺”等测影仪器和“垛积”的招差法算术推算，所得“时差”与平太阳和视太阳相距的时角，几与今日所测密合。根据当时历史条件，发挥其创造力，实足惊人！
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《授时历故》卷二“求盈缩差”列“视盈初、盈末、缩初、缩末四历”数据如次：
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盈初限八十八日九千○九十二分二十五秒。
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盈末限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩初限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩末限八十八日九千○九十二分二十五秒。
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即以今测列表，比较于下：
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① 授时历的数据见于顾应祥《授时历法撮要》，宁波天一阁明刻本。
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② 今测根据Barlow and Biyan Elementary mathematical Astronomy § 133。
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冬至节气前后，太阳走得快；夏至节气前后，太阳走得慢。这快与慢逐日之率是不相等的。中国历家自唐麟德历以来认为这快慢率的增减合于数学中的级数推值公式。授时历遂衍招差法“平立定三差之术”来计算。《授时历故》卷二“求盈缩差”则以气象限九十一日三十一刻○六分二十五秒，盈缩极差二度四十分一十四秒，积日离为六段就招差法，循术具体演算。
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三、天为球体，黄赤道距度、内外度、白道交周都在球面上。已知太阳的黄道积度求它的赤道积度和赤道内外度，非用球面三角学不可。中国古代无此学科，故欲推求，天文学家只能在浑天仪上直接量取，却无一定的计算方法。郭守敬从沈括的会圆术获得启发，创设弧矢割圆术，用会圆术融合勾股算术来解决天文测量的问题。但由此所得的结果，只是近似值；而且应用相似三角形原理，反复推算，手续较烦。多位数字运用筹算或珠算，十分费事，自然不及西欧球面三角法简捷。三角函数，唐时随着印度佛教传入中国，当时，只有几个小人物在研究，却为名流排挤。历史教训值得重视，引以为鉴。
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《授时历故》卷三“推二至纬度”，就是阐述郭守敬的弧矢割圆术。首释“弧背”（全弧背、半弧背）、“弧弦”、“矢”诸名词和“半径”、“黄赤道内外半弧背”等数据。次述“周天径半弧背求矢之术”，即黄赤道半弧背求矢之术。其术曰：
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以半弧背自之，得五百七十度，为半弧背幂。
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24×24＝576
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以周天径自之，得一万四千八百二十三度○六分，为径幂。
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121.75×121.75＝14823.0625，秒不用。
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二幂相乘，得八百五十三万八千○八十四度，为正实。
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以径幂乘径，得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五，为益从方。
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14823.0625×121.75＝1804707.859375
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以径幂为上廉。倍半弧背得四十八度，经乘周径得五千八百四十四度，为下廉。
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48×121.75＝5844
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以矢、上廉、下廉、益从方、正实，用增乘开方法开之，得矢四度八十四分八十二秒。《明史》卷三十二的割圆求矢术，亦循此术推演。术曰：“置半弧背自之，为半弧背幂，周天径自之为上廉。上廉乘半孤背幂为正实，上廉乘径为益从方。半弧背倍之，乘径为下廉。”用增乘开方法开之，便得矢度。
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