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以半弧背自之，得五百七十度，为半弧背幂。
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24×24＝576
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以周天径自之，得一万四千八百二十三度○六分，为径幂。
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121.75×121.75＝14823.0625，秒不用。
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二幂相乘，得八百五十三万八千○八十四度，为正实。
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以径幂乘径，得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五，为益从方。
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14823.0625×121.75＝1804707.859375
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以径幂为上廉。倍半弧背得四十八度，经乘周径得五千八百四十四度，为下廉。
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48×121.75＝5844
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以矢、上廉、下廉、益从方、正实，用增乘开方法开之，得矢四度八十四分八十二秒。《明史》卷三十二的割圆求矢术，亦循此术推演。术曰：“置半弧背自之，为半弧背幂，周天径自之为上廉。上廉乘半孤背幂为正实，上廉乘径为益从方。半弧背倍之，乘径为下廉。”用增乘开方法开之，便得矢度。
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四、中国历学第一阶段：在三统历和四分历时，历学认为月行19周等于日行254周。即月行一周，日行13周又19分度之7，亦即日月行1度，月日行13度又19分度之7。都是根据日月的平行度，用以计算24节气的。第二阶段：从乾象、景初两历开始，中经元嘉、大明等历，到南北朝止。东汉贾逵首先发现月行时快时慢，所谓：“月行迟疾。”刘洪以日月平行速度，计算日月合朔，知和实际天象不符，变革历法，作《乾象历》。魏杨伟作《景初历》，更定月行迟疾历。第三阶段：自南北朝起，迄于元季。北朝张子信发现太阳的视运动也时快时慢。所谓：“日行盈缩。”隋刘焯作《皇极历》，首先运用等间距二次内插法计算。李淳风作《麟德历》，以之入历。唐僧一行复创不等距二次内插公式，撰《大衍历》。几经演进，至元郭守敬造《授时历》，集合诸家历法的大成，设立三次内插法，用以计算日躔、月离及五星运动。所得数据日月行度，几与今日科学成就密合。
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《授时历故》卷四为“月离历”。分两部分。其前部分：“推天正经朔入转第一”、“求经朔弦望入迟疾历第二”、“求迟疾差第三”、“求朔弦望定日第四”、“推定朔弦望加时日月宿度第五”，即阐平立定三差之术。《历法》卷二、卷三为日躔历上下，阐述盈缩历术，卷四阐述迟疾历术。两者结合，由经朔转求定朔。第四“日平行一度，月平行十三度十九分度之七”一段，当属黄梨洲按语，述经朔与“以盈缩迟疾之数损益之，始为定朔”。经朔改为定朔，实为中国历学史上改历的一件大事。梨洲叙述，简明扼要，可窥其深娴历学。卷四月离历的后部分诸篇，转入以弧矢割圆之术“推白赤道正交黄赤正交极数术”诸题。此术拙于《授时历术述要》详之。刊于《古籍与科学》，哈尔滨师范大学《北方论丛》中。
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中国历学，古人“观象授时”，顺天求合；有不符时，重行观测，创新说、新法以纠正之。这是七十余家改历的所以兴。创作十三家，太初、太衍、授时三家为最著。然太初附会钟律，太衍附会易象，俱涉神秘色彩。授时偶存灭没之忌外，参校古历疏密，不涉荒诞。治学谨严，成就卓越。西士汤若望于郭守敬，因有中国的第谷之赞。梅文鼎谓：“余初学历，原从授时入手。”又云：“授时历以测验算术为宗”，“法之所以立，数之所以出，以及晷影星度，皆有全书”。惜乎《元史》未予重视，使精意湮没，识者憾焉。
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黄宗羲（公元1610—1695年），字太冲，号梨洲，浙江余姚人也，博览群书，兼通步算。吾师钱琢如教授瞻仰黄氏，谓：“实开浙人研治西洋天算之风气。”《碑传集》卷131，《畴人传》卷36，俱有传。梨洲于清康熙十五年丙辰撰《授时历故》四卷。康熙十八年诏取其所著书宣付史馆，未知及此著否？乾隆四十七年《四库全书》重纂修成，尚未注录。善化刘铎《若水斋古今算学书录补注》谓：“嘉业堂丛书本四卷，附授历要法歌。宣统二年印梨洲遗著汇刊，列入未刊书目中。”江阴宋景昌序谓：“此书已经后人更定，非先生原本。”刘承干谓：“盖因郭守敬历草不传而作。一依本法推算。其所创平立定三差及弧矢割圆诸法赖此以存。此本传自武进李氏，余从曹君直侍读借钞得之。兹更详加校正付梓。”浙江古籍出版社排印《黄宗羲全集》，《授时历故》由刘操南统校，撰《校读记》，刊于第九册。《中国科技典籍通汇·天文卷》，中州古籍出版社即以此为蓝本排印。
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古代天文历法释证 [:1700880781]
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古代天文历法释证 中国古代天文历算学的特色与源流考辨
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中国在世界文化史上为最早发展天文学的国家之一，有着大量珍贵的天文资料和科学研究的成果。
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中国天文学在古代与农学、医学、数学并列，成为中国古代主要的四门自然科学。在这四门中，天文学与数学关系最为密切，古时称为“天算之学”。这“天算之学”所说的“天”主要是指日、月、星辰（这星辰包括恒星与行星）的天体结构和运行的观测与研究；所说的“算”主要是指根据这些天体运行的观测，进行定量分析，给以计算，古称“推步”。两者相互密切结合，称为“天算之学”。研治这门学科的主要目的“观象授时”，就是制订历法，为农业生产服务。中国古代的多种历法就是根据天体运行的观测和推算，逐步改进而创制的。它们在中国历史上相对地成为各个时期的先进的较为正确的历法。观测日、月的运行，得出各个时期的回归年与朔望月的数据，从而调整这两者的关系，就成为具有中国特色的阴阳历；同时，观测日、月与五星的运行，从而调整这七者的关系，古时称为“以齐七政”，这就成为具有中国特色的天体历的雏形。中国历法的基础和特色就是建筑在“天体的观测”与“数据的计算”上的；梅文鼎因此说：“历之学，测与算二者而已。”
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中国的历学萌芽于几千年前的原始社会，那时已知“观象授时”，这“象”有时是指“物候”，有时是指“天象”。《史记·历书》说：“历建正作于孟春。于时冰泮发蛰，百草奋兴，鹈先滜。”发觉水已解冻，蛰虫起来，百草萌芽，子鸟鸣。意味着：春气发动，用以确定正月，作为孟春，“物及岁具”，这是取象于“物候”的。《夏小正》说：“初昏参中，斗柄悬在下。”观察廿八宿的参宿在黄道正南，北斗的斗柄垂下以定春正月，这是取象于“天象”的。发展到战国和秦汉时期，天象观测作为主要依据。重视天象观测，加以推算，进而制订历法，这时中国的历法逐渐趋于初步成熟阶段。
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1960年山东莒县、1973年山东诸城两处分别出土两个距今约4500年的陶尊，上刻符号。这个符号或释为“旦”。○像太阳，像云气，像峰峦。山上云气托着太阳上升，这可说明中国先民已在观察日出。《尚书·尧典》曾说：“分命羲仲”，“寅宾出日，平秩东作”。这时就有专职观象授时的天文官员，从事祭祀日出，以利农耕。西周青铜器铭文中就有既生霸（魄），既望、既死霸（魄）的月相记载。