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欧洲天文学和数学的兴起及其特色与中国的天算之学是各异其趣的。他们对待大自然的天体结构和人类所接触的物体的几何图形一上来就是重视它的理论上和逻辑上的探索与研究。这些探索与研究一时未必就和人们的日常生活即与农业生产相结合，而是为其政治与经济效益服务的。就这点说，欧洲的天文学和数学与中国的天算之学是分道扬镳的。为了说明这个问题，这里需要对它的兴起略予回顾与说明。
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公元前3世纪，古希腊的数学大师阿基米德对于曲线图形及曲面体的面积与体积就已作了研究。研究它的抛物面、双曲面与椭圆面和圆柱、圆锥与半球的关系；此外，还研究螺线。公元前至2世纪，古希腊数学家阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是世界上最早的关于椭圆、抛物线和双曲线的一部杰出著作。公元前440年，古希腊默冬发现月球的位相，作为一个周期19年重复出现在阳历的同一日期。公元前5世纪，古希腊欧多克斯提出日月星辰绕着地球作同心圆运动的主张。公元前5世纪，古希腊巴门尼德、德谟克利特论证大地是球形的，认为金星的晨星和昏星是同一颗星，提出银河是由许多恒星密集组成的。公元前5世纪，古希腊阿那萨古腊提出月食的成因，认为月球是因反射太阳光而明亮的。公元前4世纪，古希腊亚里士多德发表《天论》一书，提出地球中心说。公元前4世纪，古希腊德谟克利特提出宇宙的原子旋动说，认为宇宙空间是由无数个旋动着的、看不见的、不可分割的原子组成的。公元前3世纪，古希腊埃拉托色尼第一次用天文观测推算地球的大小。古希腊亚里斯塔克第一次测算太阳和月球与地球距离的比例，提出太阳是宇宙的中心和地球绕着太阳运转的主张。这就概括地可以说明欧洲很早就是重视天文学和数学的理论研究的。这些研究偏重于理论的阐发，并不是从观测和推算起步，直接为制订历法服务的。
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公元前46年，罗马颁行儒略历。在罗马为709年1月1日，当汉元帝初元三年十一月二十九日。儒略历采用的是阳历，它的制订及其源流和中国古代天体历的雏形及其源流也是十分不同的。欧洲天文学和数学的成就通过印度佛教的东渐在隋唐之际开始部分传入中国。当时中国学者对于外来学术、天文历算诸方面未能正确对待，今天看来是存在问题的。这个问题值得我们重视和研究。这里，需要略予论述。例如，在唐开元间，僧一行（张遂）在编撰大衍历前，印度的天竺历法已经输入。这历称为“九执历”。《新唐书·历志》说：开元六年，诏太史监瞿昙悉达译之。瞿昙悉达遂编《开元占经》。其中104卷就曾详载九执算法，中有“三角函数的正弦表”，这是中国算术中的一个空白。运用三角函数计算黄赤大距，这比中国原来取经于勾股之法，要方便和精确得多。就这点说，它是深受当时和后来的历家和史学家的歧视和排斥，难于接受和推行。例如唐僧一行和宋欧阳修之流，认为此学来自异域，名数诡异不可为法。僧一行制订大衍历，未能参考九执历的长处，补其不足。宋欧阳修纂修《新唐书·历志》没有采取刘羲叟的建议，将九执历法补写入《新唐书·历志》中。九执历术从此湮没无闻，直到清顾观光撰《九执历解》，开始替它阐发与表彰。
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梵历日最高恒在夏至前十度，而回历有最高行。梵历月止一小轮，而回历益以次轮。欧罗巴又益以次均轮。梵历推盈缩迟疾差，及日月距纬，并用正弦比例，而回历用平三角、弧三角法。梵历影差止轮月高卑，而回历兼论日高卑。梵轮日食止有南北差，而回历更有东西差。此皆屡测屡推，由疏入密，而苟非有前之疏，无以得之密也。
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九执历中有三角函数的正弦表。这里可以举例说明。如：推月间量府命，译成中历为“去交度的正弦”。这是梵历的长处，可为中国历法的补白。它的推算日月盈缩迟疾差及距纬的方法，可为中国历学开辟新的途径。但是当时的历学大师一行只知深闭固拒，舍而勿用。却有几个“小人物”如陈玄景等潜心研究。由于他们“官卑职微”，受到“执政诸公”的痛斥，诬为“以惑当时”，遭到不白之冤。运用三角函数作为造历的基本算法，这真是中国历算中所缺的，有何不可！这时一行潜心于二次差内插法和等差级数的计算，对此无动于衷。反对的理由只是因为九执历是外来的，便受歧视；可是他不想想：印度佛学不也是外来的吗？可谓厚此薄彼。这个经验教训，在中国历学发展史上吃了大亏，是应该吸取、剖析与检讨的。
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当然，有价值的东西是不可能全被保守的人抹煞的。九执历提出的“随方眼”，认为地平经纬是随地不同的；一行受此启发，提出测量九服日晷，阐明北极的出地高度，是受到它的影响与得其好处的，只是一行不愿认罢了。九执历求黄白交宫，自昇交始，称为“阿修”，也称“阿修罗”。唐代以后在历法上称道的罗，计都之名，即始于斯。一行依阿修，测量九道月行，以定罗计周天。大衍历法，推为唐历冠冕。他独于九执历的三角函数，废弃不用，同时还要严肃批评陈玄景等小人物的正确研究。这点史书上因此对他也有非议，评论：“一行写其术未尽，妄矣！”今天，我们对于这个问题是看得清楚的。《新唐书》对于陈玄景的科学研究，未能正确对待，是应予平反，表彰他的实事求是的治学精神的。三角函数在中国未能早日推行，直到元郭守敬撰《授时历》，还是吃了大亏。痛定思痛，奉告负有声望的权威学者，学术是天下公器，应该虚怀若谷，以学术为重，有这肚量，接受这一教训。
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根据朱文鑫的考订：九执历译于唐时，却为印度的古历。九执历谓：“春分为羖首，秋分为秤首。”羖首为西法的西羊第一点，秤首即西法天平第一点。春分在白羊，秋分在天平，遵循岁差术来考证，距今已经2000余年。公元前134年，即汉元光元年，这与《汉书·律历志》所述的春分点在娄是相合的。欧洲历学，从希腊、阿拉伯遍及罗马，由东而西；梵历则为历法东西交流的一大关键。九执历中“日月皆有小轮”，“日食用黄平象限定南北差，亦有周径密率，亦用弦切二线”，由此可以窥测梵历与希腊和欧洲诸国历法的关系。九执历传入中国，实为中西文化交流中在利玛窦前西历传入中国的一件大事。只是由于中国古时学者不予重视，视有若无，这是中国学术史上的一大憾事。明清之际，西学东渐，利玛窦等对于这事当然没有认识，还说，他们把西学传入中国是第一次，居于首功的。徐光启和李之藻，号称博雅之士，可也没有发觉，以耳代目，随声附和；却不知道历史事实不是这样的。
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欧洲历学传入中国，是有它的蛛丝马迹可寻的。《隋书·经籍志》中已经载有印度天文学和印度数学著作的中文译本三种：《婆罗门算法》三卷、《婆罗门阴阳算历》一卷、《婆罗门算经》三卷。只是可惜这些译书早已失传。《开元占经》所述九执历中涉及数学知识的还有：①圆弧的量法，其中介绍希腊人的量法，把圆周分为360度，每度分为60分。②正弦函数sinx表。这个表的间隔为3°45′，由0°至90°恰好分为24段，给出24个正弦函数值。③印度数码。是十进位制的数码。为今日世界通行的阿拉伯数码的起源。《新唐书·历志》说：“（九执历）其算皆以字书（笔算），不用筹策。其术繁碎，或幸而中，不可以为法；名数诡异，初莫之辨也。”这可说明那时的中国有些学者保守思想严重；但也可以说那时的西学早已传到中国来了。
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明末欧洲耶稣会传教士来到中国，传授西学该是第二次了。这时恰值中国天算之学处于低潮。意大利人利玛窦于1582年来华，了解到中国开明的士大夫饶于新知识的要求，多次向罗马教皇报告，派遣娴于天文学等学科的传教士来华，介绍和翻译欧洲科学知识和科学著述。在传教士与中国士人的合作之下，分别出版了许多著述。1607年，李之藻撰《浑盖通宪图说》2卷，嗣后梅文鼎又作订补1卷。李氏曾谓：“窃疑为周髀遗术，流入西方。然本书黄道分星之法，尚阙其半，故此器甚少。盖无从得其制也。兹为完其所阙，正其所误，可以依法成造。”1611年，西洋人熊三拔撰《简平仪说》1卷。徐光启序：“其法用上下两盘。天盘在下，所以取赤道经纬，故有两极线、赤道线、节气线、时刻线；地盘在上，所以取地平经纬，故有天顶，有地平，有高度线，有地平分度线。”“天盘用方版，上设两耳表，以测日影；地盘中心系坠线，以视度分，立用之可以得太阳高弧度，既得太阳高弧，则本时诸数，亦皆可取。盖是仪写浑于平，如取影于烛；虽云借象，而实数出焉。弧三角以量代算之法，实本于此。”1614年，西洋人熊三拔撰《表度说》，认为“地球在天之中”。《郑堂读书记》云：“其书因土圭旧制，变为捷法，可以随意立表，分五题以明其说：第一题日轮周天。上面天，下向地。其转于地面俱平行，故地体之景亦平行。第二题地球在天之中。第三题地球小于日轮，从日轮视地球止于一点。第四题地本圆体。第五题表端为地心。盖以西洋天圆地亦圆，及地球小于日轮之说，讲古算术者多非之，故先即表度之易见者，立说证明，于测日为独详焉。”1615年，西洋人阳玛诺撰《天问略》。《四库全书简明目录》云（指《天问略》）：“于诸天重数，七政部位，太阳节气，昼夜永短，交食本原，地影粗细，蒙气映漾，朦影留光，皆设问答，以明其理。末载朦影刻分表，及交食浅深图说，亦颇说明。”谓日天本动，与利西泰《乾坤体义》议论相似。1626年，日耳曼汤若望撰《远镜说》。《远镜说》介绍伽利略式的望远镜。《天问略》介绍多禄某体系的十二重天，和伽利略用望远镜所观测到的新成果。
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中国士人从耶稣会士学习欧洲天文学的计算方法。万历三十八年（1610年）徐光启预报该年十一月朔（12月15日）日食，他的观测和证明比较准确，引起学者的重视。崇祯二年五月初一日日食，钦天监推算晷刻不合，明政府决心改历，命礼部左侍郎徐光启在北京宣武门组织百人开设历局，李之藻、王应麟和西洋人罗雅谷、龙华民、邓玉函、汤若望同修，历时六年九月，成《崇祯历书》137卷，一名《西洋新法历书》。《明史·艺文志》载126卷，《历志》作130余卷，明徐光启等督修，李天经续成。《四库》著录100卷，内府藏本104卷，汤若望重订。今有四库全书本、明崇祯元年刊本103卷、十六年刊本73卷、顺治二年刊本、康熙十七年补刊明崇祯97卷本。《崇祯历书》采用第谷宇宙体系及其几何学的计算系统，引入地球和地理的纬度概念，应用球面三角学，采用欧洲通行的变量单位，分圆周为360°，分1日为96刻，24小时，度和时以下采用60进位制。
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《崇祯历书》于1634年编成，未及颁行，明亡。1644年清军入关。《清史稿·时宪》载：“顺治元年十一月，若望以明大学士徐光启所译《崇祯历书》改名新法历书。”计103卷。
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治历缘起八卷，奏疏四卷，八线表一卷，日躔表一卷，月离表四卷，五纬表十卷，交食表九卷，恒星纬表二卷，新历晓或一卷，学历小辨一卷，测量全义十卷，远镜说一卷，日躔历指一卷，月离历指四卷，五纬历指九卷，恒星历指四卷，交食历指七卷，恒星出没二卷，古今交食考一卷，黄赤正球二卷，浑天仪说五卷，测天约说二卷，大测二卷，几何法要四卷，新法历引一卷，历法西传一卷，新法表异二卷，筹算一卷，测食略二卷。
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《崇祯历书》前后印补三次：崇祯初版，顺治二年补刊本，康熙十七年又补刊本。103卷为顺治二年的补刊本。徐光启与李天经五次呈进的历书为137卷，崇祯时未完全付梓。所刻若干，今难查考，惟今尚存顺治二年汤若望新历告成一疏，可资参考。“臣阅历寒暑，昼夜审视著为新历一百余卷”，“臣谨捐资剞劂修补全书恭进御览”。奏末有“计开进《西洋新法历书》一百卷，十三套”。顺治二年十一月十九日上。[83]版刻先后不同，历史记载从而有所出入。
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汤若望呈《西洋新法历书》，清政府遂命汤氏任钦天监临正，用“西洋新法”编算民用历书，题名《时宪历》，于顺治二年颁行。康熙间撰《历象考成》，以康熙二十三年甲子（1684年）为历元，又名甲子元历。岁实采用第谷测定。雍正初西人戴进贤等修日躔月离表。乾隆初撰《历象考成后编》，以雍正元年癸卯（1723年）为历元，故名癸卯元历。岁实采用牛顿测定。时宪历行用98年（1644年—1741年），癸卯历行用170年（1742年—1911年）。自清顺治元年至宣统三年（1644年—1911年）共计行用268年。
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1659年，比人南怀仁来华，1660年5月9日奏召进京，助汤若望修历。杨光先掀起教案，南怀仁、汤若望、利类思、安文思皆系刑部狱。旋得平反，康熙十三年三月奏命制造六件大型第谷式古典仪器，写说明书《灵台仪象志》14卷，在北京印行。仪器今尚存于北京古观象台。
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1742年，乾隆七年奉敕编成《历象考成后编》10卷。今有武英殿刊本，四库全书本。第一次应用开普勒行星运动第一、第二定律。在椭圆焦点上的尚是地球而不是太阳。《四库全书总目提要》云：“谓日月五星之本天，四说为平圆。今以为椭圆，两端径长，两腰径短。盖太阳之行有盈缩，由于本天有高卑：春分至秋分行最高半周，故行缩而历日多；秋分至春分行最卑半周，故行盈而历日少。”“第谷用本轮推盈缩差，惟中距与实测合，而最高最卑前后则差，因用均轮以消息之。然天行不能无差。刻白尔（开普勒）以来，屡加精测，又以均轮所推高卑前后，渐有微差。乃设本天为椭圆，均分椭圆面积，为逐日平行之度，则高卑之理，既与旧说无异，而高卑前后盈缩之行，乃俱与实测相符也。”“雍正八年六月朔日食，以新法较之。纤微密合。”因“修日躔月离二表，续于《历象考成》之后”，复撰说“阐发”，成为《后编》十卷。1752年乾隆十七年，成《仪象考成》32卷，测编3083星的星表。1844年，道光二十四年，中国天文工作者重修测量，收星3240颗，成书32卷，命名《仪象考成续编》。
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总而言之，第二次西学东渐，对于中国科学的贡献与影响极大；但也有其局限性，导致学术研究吃了大亏。耶稣会士将欧洲科学输入中国，实际是有功有过。关于它的贡献，近代学者如梁启超、张荫麟等学者乐于称道；可是它的失误，却少叙述。朱文鑫指出：清初梅文鼎、王锡阐、江永等天算家酷爱西学，深受启发。他们的眼界和学问得以开拓；但由于传教士的保守，走了弯路，吃了这亏。
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耶稣会士，早期来华的天主教徒思想都属较为保守的。哥白尼于1543年出版《天体运行论》，倡导地动学说，嗣后成为近代天文学的开山祖师。他认为宇宙结构是：太阳居中，水金两星，绕于其旁。地球绕日的轨道，则在金星之外。地球之外，还有火木土三大行星绕之。这三星有时处于和太阳对峙的位置，由此窥见它的绕日轨道为在地球绕日轨道之外。四季寒暑之理，哥氏按照地球的自转、公转，做了详细的说明。哥氏之说推翻了多禄某的《天学大成》Alemagest的旧说。耶稣教士认为他的学说实是离经叛道，眩众惑世。丹麦天文学家第谷氏出，提出调和折中的议论，将多禄某和哥白尼两个不同体系的学说，合二而一，认为地球不动，太阳绕着地球而行，其他行星则又绕着太阳运行。利玛窦，字西泰，意人，生于1552年10月6日。1582年8月7日抵澳门，1601年1月24日再至北京。1603年与徐光启同译《几何原本》。瑞士人邓玉函于1621年来华。日尔曼人汤若望于1622年来华。他们都是能够知道哥白尼的“天体”学说的，可是所介绍的都是宣扬第谷的折中论的。在《新法历书》中对哥白尼学说未见介绍，只是偶然涉及。过了100余年，1744年，法国耶稣会士蒋友仁来华，始作介绍。这时哥白尼的学说在欧洲经过伽利略、开普勒、牛顿、哈雷等科学家的阐发，如日中天，灼然光耀于世。蒋友仁向乾隆帝献《坤舆全图》。在这图的四周的说明文字中，肯定哥白尼学说。他介绍开普勒定律和地球为椭圆体，还引进两个仪器，借以表演哥白尼的学说。这两个仪器和《坤舆全图》可惜当时中国皇家没有把它推广，却把它锁在深宫密室之中。蒋友仁介绍的哥白尼学说，理解的人不多，学者信疑参半。阮元撰《畴人传》论述西学东渐，对于多禄某和第谷阐述很详，于哥白尼只寥寥两百多字。在评论中还有微辞，真的是是非颠倒。
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朱文鑫就说：“康熙以来，专治天学者颇不乏人。其最著者，当推薛夙祚、梅文鼎、江永、邹伯奇诸家。相继述作，类能融贯古今，沟通中西，但皆宗第谷之学说，仍不出都禄某之范围，故进步甚迟。”举例言之，如《历象考成》中说：“《新法算书》言：五星古图以地为心，新图以日为心；然第谷推步均数，惟火星以日为心。若以地心立算，其得数亦与之同。知第谷乃虚立巧算之法，而五星本天，实皆以地为心。盖金水二星以日为心者，乃其本轮，非本天也。土木火三星，以日为心者，乃次轮上星行距日之，亦非本天也。”对于古图、新图的天体结构体系认识十分模糊，可谓思想混乱。江永在《算学》卷五“七政衍”中说：“文鼎论七政小轮之动，由本天之动。七政之动，由小轮之动。永则以恭按钦定《历象考试》，五星有三小轮，而月更有次均轮，且更有负圈。文鼎说虽精当，而各轮之左旋右旋与带动自动不动之异，尚未能详剖。”感到天体学说弄不清楚。
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王锡阐撰《五星行度解》一卷。钱熙祚在《五星行度解跋》中说：西法“以地为心者本天也，以日为心者岁轮上星行绕日之迹也”。“然绕日圆象，历家惟于金水用之；而土木水火仍用岁轮。”这是指《崇祯历书》所介绍的第谷的天体结构体系来说的，王锡阐怀疑这种计算和实测不符，遂说：“绕日圆象为本天”，“谓五星本天，皆在日天之内，但五星本天周而绕日环行，太阳居本天心而绕地环行”。他的见解对《崇祯历书》所介绍的，有所突破，但仍不出第谷的体系。因此他说：“验之于天，未知合否？”清代中国学者对天体学说的困惑，走了弯路，这与早期的耶稣会士不肯介绍哥白尼的学说是分不开的。
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中国学者真正了解哥白尼学说的伟大意义和欧洲近代天文学面貌，始于1859年李善兰与英国伟烈亚力合译的《谈天》一书。《谈天》原名《天文学纲要》，是英约翰·赫歇耳著的一本关于天文学的通俗名著，18卷。他对太阳系的结构和运动叙述较详，还介绍了有关恒星的系统。李善兰在这书的前面，写了一篇富有战斗性的序言：“余与伟烈君所译《谈天》一书，皆主地动及椭圆立说，此二者之故不明，则此书不能谈也。”这可见耶稣会士的失误影响之巨和学者所受创痛之深啊！
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（原载《古今谈》，浙江省文史研究馆编，1997年第1、2期，总41、42期，合刊）
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