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古代天文历法释证 圆周率的寻求与电脑计算
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寻求圆周率的近似值，以简御繁，中国古代在世界上是领先的，它的思路是遵循《周髀算经》中商高所说：“数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩。”计算方法是：“折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”运用勾股弦定理割圆，逐步进行计算。
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它的计算方案有二。一是从圆的内容六边形起算。《隋书·律历志》上说：
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古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。
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祖冲之从而获得：
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约率 22/7＝3.1428571
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密率 355/113＝3.1415929
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圆径率 π＝3.1415926～3.1415927
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今以电脑验算，六边形开至第12次、第13次、第14次、第15次为
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π＝3.1415926453212160
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二是元赵友钦《革象新书》，对祖冲之所获的密率，进行复核，认为“最为精密”。他从圆的内容四边形起算，算至第12次，为16384边形，得3141寸5分9厘2毫有奇：
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π＝3.141592有奇。
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这与祖冲之所得相符合。赵氏论述，详于《革象新书》的卷5《乾象周髀》中，今特摘录其有关计算方法数节如次：
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亦当言其考究之术。画为百眼，棋盘一眼。广一寸，横十寸，名勾。在于东西相距方圆之内，画为圆。圆是去其方之四角也。……
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凡弦幂必兼得勾股两幂之数。今圆方而纵横相同，当以弦幂均为勾股两幂，各得五十寸，而开方即知勾股皆七寸有余。……
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其初之小方，渐加渐展，渐满渐实。角数愈多，而其为方者不复方而变为圆矣。故自一二次求之，以至十二次，可谓极其精密。……
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以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也。置此周围之数，降呼作三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽有奇。以一百一十三乘之，果得三百五十五尺。故言其法精密。要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。
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今以电脑验算，则为：
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π＝3.1415925646870360
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祖冲之的计算是用筹策。开圆周率，算12余次。虽然是“运筹如飞”，实际工作繁赜。运筹之际，变动不居，瞬息即逝，难于停留。自是未遑记其过程，只能书其最后结果。祖冲之计算这一课题，需要多少时间，今人难以估计，也难以说出。看来需要不少年月是无疑的。
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赵友钦计算是打算盘。打算盘比运筹就工具来说自然要便利得多。他对这一课题，重在复核。曾听人说：他的计算花了3年时间。自惭寡闻孤陋，尚未晓其出处。但这估计是有现实性的。因此，我们不能小看《革象新书》，就这《乾象周髀》的最后一条，只1645字，研究的时间当然不少，就计算说当也不知花了多少心血！
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今天，我们计算就方便了，只须把这两种方案，编成程序，输入电脑，然后输出来是十分迅速的。将它计算到16位，这六边形和四边形两者起算所得的结果，差别与误差一目了然，都可从而显示出来了。刘徽说：“割之又割，以至于不可割；则与圆周合体，而无所失矣。”赵友钦说：“故言其法精密，要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。”理论上是说得通，实际上却是有其局限性与失误的。这不能说是今人聪明，而是要感谢科学和时代的进步啊！
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研治古籍，我常设想，需要中西交叉，文理渗透。只知抱残守缺，是不会有什么开拓的。我这工作也算是一种尝试吧！今将两种计算，阐述如次：
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先从六边形出发，以求π的近似值。
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