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2．三统历采用八十一分法。《三统历·统母篇》说：“日法八十一。元始黄钟初九，自乘一龠之数，得日法。”这个日法数据是怎样得来的呢？这是源于颛顼历或殷历的朔策数据而稍加修订的。《淮南子·天文训》云：“一月二十九日九百四十分之四百九十九。”这个朔望月的数据在邓平看来：朔余大于二分之一，需要把它化繁为简，化简之法：使为则大于，为则小于；使强弱两率之间，相加成为，这样比较密近；因此，太初历与三统历即予采用。这样讲是科学的，可是，他们偏不这样说，而是硬要拉到钟律上去。这个朔月的数据，其中日的余分中的81，称为日法。这个日法恰和黄钟律管之长9寸，围9分，两者相乘9×9＝81，得积81巧合。当时就有不少历家头脑发热起来，把日法和律容两者等同起来，“合二而一”地大吹法螺，且用这个理由，排斥四分历。《汉书·律历志》就是把数据说成“其法以律起历”。法指的就是日法，律指律容，即将81的日法和81的律管之容，两者混同起来，用以决定太初历法。《律历志》解释这个关系道：
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“律容一龠，积八十一寸，则一日之分也，与长相终。律长九寸，百七十一分，而终复。三复而得甲子。夫律阴阳九六，爻象之所以出也。故黄钟纪元气之谓律。律，法也。莫不取法焉。”与邓平所治同。于是皆观新星度、日月行，更以算推，如闳、平法。法：一月之日二十九日八十一分之四十三。
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认为：黄钟律管的容积一龠，积81寸，就是历法的朔望月一日的余分。再把律长的9寸，乘171分得1539，1539×3得4617，这样终复，三复而成一元岁数，使历法的日次干支，重新恢复甲子的日次联系起来。把这两者的混合现象，说成中间涵容着“黄钟”、“元气”的规律。这个规律与儒家经典《易》经上所说爻象的“阴阳九六”的道理是符合的。因此，这个钟律和日法，有它的特殊意义需要采用，而不能更动。邓平于是造太初历，定朔望月（朔实）为，作为历法的基本数据，进而观测日、月、五星的运行。这里，我们是很容易发现问题的。当时采取这个朔实，是有其宣扬律历的神秘政治原因的。从科学角度看，采用这个数据是荒谬的。
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回归年的零数 朔望月的零数 六历 0.25000000 0.53085106 太初 0.25016244 0.53086419 四分 0.25000000 0.53085106 乾象 0.24671052 0.53055106 元嘉 0.24671052 0.53058510 大明 0.24281481 0.53059152 今测 0.24219879 0.53058800[60] 太初历所采的岁实、朔策都比较大；因此，历法的计算和当时天行不能符合。这个问题，当时历家已经觉察，由于武帝的支持，只能糊里糊涂地把它掩饰过去了。《律历志》写道：
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先藉半日，名曰阳历；不藉，名曰阴历。所谓阳历者，先朔月生；阴历者，朔而后月乃生。平曰：“阳历朔皆先旦月生，以朝诸侯群臣便。”乃诏迁用邓平所造八十一分律历，罢废尤疏远者十七家。复使校历律昏明，宦者淳于陵渠复覆太初历，晦、朔、弦、望皆最密，日月如合璧，五星如连珠。陵渠奏状，遂用邓平历，以平为太史丞。
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太初历采用的岁实、朔策都比较大。那时合朔采用平朔，大小月相同；因此合朔在朔前，或在朔后，经常发生，不能与实际天象符合。这种天象，历法计算早于天象半日，称为阳历；不及半日，称为阴历。阳历就是历法计算的朔日跑在实际朔日的前面，阴历则是落在后面。邓平避开问题的实质，却说：遇到阳历合朔时，皇帝便于召集诸侯和官僚前来朝廷拜会。这样武帝就诏司马迁决定采用邓平所造的八十一律历，排除最为粗疏的历术十七家，并唤淳于陵渠复校太初历术。复校结果，陵渠上奏：晦、朔、弦、望太初历较其余十七家的计算最密。太初上元甲子夜半朔旦冬至，那时日月合朔如合璧，五星同度如连珠。于是，武帝擢用邓平为太史丞。这可说是黑白不分，是非颠倒。
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太初改历，从最高统治者“改正朔，易服色”这个概念上说，可以炫耀他的“受命于天”，是件好事。但从科技史角度来看，某些方面却是一个倒退现象。当时参加改历的，如司马迁、落下闳等就不满意，邃于历法的如张寿王，凭着科学的良心明辨是非起来力争，几乎丧失性命。社会上反映也大，认为这样的历法，行不久远。这些议论，在稍后的谶纬中也有反映。到了东汉，许多历算家如编、李梵、贾逵、张衡、刘洪、蔡邕等都曾提出批评。清人王锡阐、近人朱文鑫也都提出一系列的问题。
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3．三统历采用八十一分法。一个朔望月，即，也即29.5308649。三统历称81为日法，2392为月法之实。这个月法之实数据的意义与由来，是很好理解的。刘歆在这数据上却故弄玄虚，大耍其数学的神秘主义游戏。他将这月法之实2392这个数据，用加、减、乘三种四则的方法折成下式：
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｛［（1＋2＋3＋4）5－1］2×3×4＋19＋1｝2[61]
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于是他就循序加以解释：
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是故，元始有象，一也。春秋，二也。三统，三也。四时，四也。合而为十，成五体。以五乘十，大衍之数也。而道据其一。其余四十九，所当用也。故著以为数，以象两，两之。又以象三，三之。又以象四，四之。又归奇，象闰十九，及所据一，加之。因以再扐。两之。是为月法之实。
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首释圆括弧内（1＋2＋3＋4），刘歆说成：“是故，元始有象，一也。春秋，二也。三统，三也。四时，四也。”这四个数字加起来等于10，刘歆就说：“合而为十。”次释圆括弧外乘5，即5×10＝50。刘歆说：“以五乘十”，就是《易经》说的“大衍之数五十”。方括弧内，即50－1＝49。刘歆说：就是《易经》说的“大衍之数五十，其用四十有九”。接着对49×2×3×4＝1176，刘歆说：这是“著以为数”、“两之”、“三之”、“四之”。再于1176数字上加19，又加1。刘歆说：加的19象闰，加的1是“据一”。得1196，再用2乘，得2392。刘歆说：“再扐”，“两之”，“是为月法之实”。一层一层的解释，说了许多不是道理的道理，把人弄得眼花缭乱。在刘歆看来，从这月法之实的解释，可以证明朔望月数据的获得，是出于《易》与《春秋》儒家经典的阐发，而不是出于天象的观测与推算。刘歆更从而说明：
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如日法得一，则一月之日数；而三辰之会交矣，是以能生吉凶。故《易》曰：“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天数五，地数五。五位相得，而各有合。天数二十有五，地数三十。凡天地之数，五十有五。此所以成变化而行鬼神也。”
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月法之实，用日法除之，就得一个朔望月的日数。三辰指太阳、月球和五星。会与交是说它们的运行轨道的相交。三统历定朔望月的数据，并不等于就能正确掌握三辰的会交，更难预测什么吉凶。这和《易经》说的“成变化而行鬼神”毫无关系，所谓语无伦次，实是笑话。
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唐僧一行修订的《大衍历》，又是一部名历。这部历法在中国历法史上占着承上启下的重要地位。它所得的日、月及五星运动的数据来源于历史记录的统计和他自己与同事的实测。僧一行观测到太阳的视运动是不等速的。太阳在冬至时速度最快，以后渐慢，到春分时速度平，夏至最慢，夏至以后相反。他从“日躔盈缩”的实际运动出发，发明用不等间距的二次内插法来计算，在世界科学史上是一个了不起的创见。对于同一时期世界其他国家来说，是还没有考虑到的。他曾发起实测九州晷影和北极高度。所得数据，不够精确，却是世界上第一次测量子午线的长度。但是僧一行解释这些天文数据的获得，不说来自科学实践，依据实测统计，从而提高到理性认识；而是根据《易经》的象数，从汉儒的象数说和阴阳五行说阐发出来的。同时他又附会“爻象”，把这些数据吹得玄之又玄。他所创作的历法，题称《大衍历》，就在这名词上也是涂上了一层哲学的神秘主义色彩。
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《大衍历》见于新、旧《唐书》两志，中有《历术》七篇、《历议》十二篇。《历术》明历法计算，《历议》考古今历法得失。《大衍历》是一代名历，足为后世折衷。可是，他的《历议》一上来就是附会《易》蓍，牵合爻象，侈谈象数，弄得人眼花缭乱，嗣后才慢慢地谈到科学的历法本身上来。这里援引《新唐书·历法三上》大衍历的《历本议》的首段，略加评释，以见一斑。
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《易》：“天数五、地数五，五位相得而各有合，所以成变化而行鬼神也。”天数始于一，地数始于二，合二始以位刚柔。天数终于九，地数终于十，合二终以纪闰余。天数中于五，地数中于六，合二中以通律历。天有五音，所以司日也；地有六律，所以司辰也。参伍相周，究于六十，圣人以此见天地之心也。自五以降，为五行生数；自六以往，为五材成数。错而乘之，以生数衍成［数］。位一、六而退极，五、十而增极；一、六为爻位之统，五、十为大衍之母。成数乘生数，其算六百，为天中之积。生数乘成数，其算亦六百，为地中之积。合千有二百，以五十约之，则四象周之爻也；二十四约之，则太极包四十九用也。综成数，约中积，皆十五。综生数，约中积，皆四十。兼而为天地之数，以五位取之，复得二中之合矣。蓍数之变，九、六各一，乾坤之象也。七、八各三，六子之象也。故爻数通乎六十，策数行乎二百四十。是以大衍为天地之枢，如环之无端，盖律历之大纪也。
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这是大衍历《历本议》的首段，一上来就教人坠入五里雾中，故弄玄虚，尽说些玄妙的话，从历学上看是毫无意义的，而且会把人引入歧路。这里把他说的“道理”解释如次：
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《易·系辞》：“天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”郑玄注以为“天数五”是1、3、5、7、9五个奇数，“地数五”是2、4、6、8、10五个偶数，“五位”是五行的方位。1、2、3、4、5谓之“生数”，各加5，得6、7、8、9、10谓之“成数”。以1、6配水，位于北方；以2、7配火，位于南方；以3、8配木，位于东方；以4、9配金，位于西方；以5、10配土，位于中央，成为“天地生成之数”。《易·系辞》说：“天一、地二，天三、地四，天五、地六，天七、地八，天九、地十。”又说：“乾，阳物也；坤，阴物也。阴阳合德，而刚柔有体，以体天地之撰（数）。”一行把《易经》象数中涉及的一些术语接过来，扩大地附会着说：“天数始于一，地数始于二，合二始以位刚柔。”《易》说“天九地十”，一行说“天数终于九，地数终于十”。历法十九年七闰，一行把十九年的十九拆开成十加九，因说：“合二终以纪闰余。”《易》说“天五地六”，一行因说：“天数中于五，地数中于六。”五音宫、商、角、徵、羽，古代吹管成律，使阳律六，阴律六，配十二支，也即十二辰。《易乾凿度》说：“日干者，五音是也；辰十二者，六律是也。”一行因说：“合二以通律历。天有五音，所以司日也；地有六律，所以司辰也。”参即三，伍即五。天的中数五，地的中数六。六等于2×3。2（3×5）＝30，2（5×3）＝30，30＋30＝60。一行因说：“参伍相周，究于六十。”这是天地中数的交互相周。天地之中，即天地之心。一行因说：“以此见天地之心也。”“自五以降”逆序数为5、4、3、2、1，相加得15，一行称为五行生数。“自六以往”顺序数为6、7、8、9、10，相加得40，一行称为五材成数。五材见于《左传》襄公二十八年。一行把五材借指五行。生数和成数相互相乘，一行称为“错而乘之，以生数衍成数”，生数衍成数，即生数乘成数。一数，约天中或地中之积，即600÷40＝15，或生数约中积，即600÷15＝40。两数相加，15＋40＝55，一行便说：“兼而为天地之数。”这数字以5除之，55÷5＝11＝5＋6，一行便说：“复得二中之合矣。”《易乾凿度》说：“圣人设卦用蓍。”郑康成注说：“蓍者……与天地气氲齐生，应天地大数，丛生四十九茎。”一行又把历数拉到“蓍数”、“爻策”上去。乾阳九，为老阳，为天，为父；坤阴六，为老阴，为地，为母。9＋6＝15，是乾坤之象。7为少阳，三少阳，即震长男，坎中男，艮少男；8为少阴，三少阴，即巽长女，离中女，兑少女。合三少阳三少阴，得六子之象。一行因说：“九六各一，乾坤之象”；“七八各三，六子之象。”三七相乘得二十一，三八相乘得二十四。二十一与二十四相加得四十五，十五加四十五，共得六十。以四象乘六十得二百四十，一行因说：“爻数通乎六十，策数行乎二百四十。”一行认为这些丛生四十九茎的蓍，通乎象数的变化，是律历的纲纪，因说：“是以大衍为天地之枢，如环之无端，盖律历之大纪也。”一行耍弄这样的象数游戏，说了许多玄妙的话，目的无非是在那个时代中，披着这件外衣，教人神秘难测，相信历数出之于天，不是一般人所能理解，最高封建统治者是天命所归的，所以，宣扬历数的神秘主义实质是为皇权神授说服务的。
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秦九韶是中国南宋时期一位杰出的数学家，淳祐七年（1247）著作《数书九章》。他在《自序》中说：“窃尝设为问答以拟于用，积多而惜其弃，因取八十一题厘为九类，立术具草，间以图发之。”《数书九章》中81个应用问题分成：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。每题答案之后都有“术”以说明解题的方法，有“草”以说明演算步骤，在必要时他复用图来显示。其中大衍求一术（一次同余式组问题解法）和正负开方术（数学高次方程求正根法）是两个有世界意义的重要贡献。大衍求一术发扬光大了整数论中一次同余式问题的解法，是中国古代数学的一项伟大成就。
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不过，秦九韶生活在中国古代社会里，与刘歆和僧一行有着某些类似的时代背景和学术传统。他把解决一次同余式组而设的许多问题归结为求一术，用来阐明《易·系辞》的“大衍之数五十，其用四十有九”这句话的意义，因名其本题称为大衍求一术。一次同余式问题，最早见于《孙子算经》，题为：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
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设：
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N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），求最小正数N。孙子的解答为N＝2×70＋3×21＋2×15－2×105＝23。这个解法扩展开来可得下列定理：