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秦九韶是中国南宋时期一位杰出的数学家，淳祐七年（1247）著作《数书九章》。他在《自序》中说：“窃尝设为问答以拟于用，积多而惜其弃，因取八十一题厘为九类，立术具草，间以图发之。”《数书九章》中81个应用问题分成：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。每题答案之后都有“术”以说明解题的方法，有“草”以说明演算步骤，在必要时他复用图来显示。其中大衍求一术（一次同余式组问题解法）和正负开方术（数学高次方程求正根法）是两个有世界意义的重要贡献。大衍求一术发扬光大了整数论中一次同余式问题的解法，是中国古代数学的一项伟大成就。
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不过，秦九韶生活在中国古代社会里，与刘歆和僧一行有着某些类似的时代背景和学术传统。他把解决一次同余式组而设的许多问题归结为求一术，用来阐明《易·系辞》的“大衍之数五十，其用四十有九”这句话的意义，因名其本题称为大衍求一术。一次同余式问题，最早见于《孙子算经》，题为：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
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设：
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N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），求最小正数N。孙子的解答为N＝2×70＋3×21＋2×15－2×105＝23。这个解法扩展开来可得下列定理：
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设a1，a2，a3两两互乘，
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N≡R1（mod a1）≡R2（mod a2）≡R3（mod a3）。假使找到K1，K2，K3，满足下列同余式
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K1a2a3≡1（mod a1）
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K2a1a3≡1（mod a2）
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K3a1a2≡1（mod a3）
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那么，N≡R1K1a2a3＋R2K2a1a3＋R3K3a1a2（mod a1a2a3）[62]
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秦九韶在《数书九章》卷一“大衍总术”里，两两互乘的ai称为定数，诸ai的连乘积M称为衍母，以各定数除衍母得Gi称为衍数。Ki称为乘率，计算乘率的方法称为大衍求一术。
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由此可知求一术与《易·系辞》所说“大衍之数五十，其用四十有九”这句话完全是两码事。《易·系辞》这句话不过是说：起课的时候用着五十枝蓍草，还有一枝备而不用。由于文辞简奥，历来注疏揲蓍之法的没有解释清楚，引起不少误解，可是，这里却是没有什么科学的数学原理。《易经》从汉代起，一直处于六经之首，在中国的经学史上，居于崇高的地位。秦九韶张皇其辞，于是在《数书九章》开头《蓍卦发微》中便与求一术挂上钩去。题为：
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问：《易》曰：“大衍之数五十，其用四十有九。”又曰：“分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时，三变而成爻，十有八变而成卦。欲知所衍之术及其数各几何？”
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答曰：衍母一十二，衍法三。
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一元衍数二十四，二元衍数一十二。
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三元衍数八，四元衍数六。
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已上四位衍数，计五十。
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一揲用数一十二，二揲用数二十四。
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三揲用数四，四揲用数九。
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已上四位用数，计四十九。
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这问题的性质，显与《孙子算经》求一术不同，因而是一种穿凿附会。秦九韶在自序中还说：“昆仑旁礴，道本虚一。圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。”用以眩世，来提高求一术的地位。这和僧一行之写《历议》宣扬神秘主义，他们的写作方法和写作动机是有其共通之处的。
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（在北京师范大学数学系举办秦九韶《数书九章》成书七百四十周年纪念暨学术研究国际会议上宣读，1987年5月）
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古代天文历法释证 敦煌问世历日辨析
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