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K1a2a3≡1（mod a1）
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K2a1a3≡1（mod a2）
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K3a1a2≡1（mod a3）
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那么，N≡R1K1a2a3＋R2K2a1a3＋R3K3a1a2（mod a1a2a3）[62]
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秦九韶在《数书九章》卷一“大衍总术”里，两两互乘的ai称为定数，诸ai的连乘积M称为衍母，以各定数除衍母得Gi称为衍数。Ki称为乘率，计算乘率的方法称为大衍求一术。
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由此可知求一术与《易·系辞》所说“大衍之数五十，其用四十有九”这句话完全是两码事。《易·系辞》这句话不过是说：起课的时候用着五十枝蓍草，还有一枝备而不用。由于文辞简奥，历来注疏揲蓍之法的没有解释清楚，引起不少误解，可是，这里却是没有什么科学的数学原理。《易经》从汉代起，一直处于六经之首，在中国的经学史上，居于崇高的地位。秦九韶张皇其辞，于是在《数书九章》开头《蓍卦发微》中便与求一术挂上钩去。题为：
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问：《易》曰：“大衍之数五十，其用四十有九。”又曰：“分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时，三变而成爻，十有八变而成卦。欲知所衍之术及其数各几何？”
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答曰：衍母一十二，衍法三。
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一元衍数二十四，二元衍数一十二。
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三元衍数八，四元衍数六。
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已上四位衍数，计五十。
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一揲用数一十二，二揲用数二十四。
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三揲用数四，四揲用数九。
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已上四位用数，计四十九。
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这问题的性质，显与《孙子算经》求一术不同，因而是一种穿凿附会。秦九韶在自序中还说：“昆仑旁礴，道本虚一。圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。”用以眩世，来提高求一术的地位。这和僧一行之写《历议》宣扬神秘主义，他们的写作方法和写作动机是有其共通之处的。
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（在北京师范大学数学系举办秦九韶《数书九章》成书七百四十周年纪念暨学术研究国际会议上宣读，1987年5月）
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古代天文历法释证 [:1700880803]
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古代天文历法释证 敦煌问世历日辨析
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唐五代辽时历谱，类多储存于敦煌石室中，惜受盗劫，流落海陬。商务印书馆《敦煌遗书总目索引》所注录者尚不下五十余件。
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问世历日，自刘复在巴黎所移录《敦煌掇琐》和罗振玉所影印《贞松堂藏西陲秘籍丛残》中所考见得四件为：“唐同光四年”（926年）、“后晋天福四年”（939年）、“后晋天福十二年”（947年）和“辽雍熙三年”（986年）。分别见于《索引》中《斯坦因劫经录》1721“大唐同光四年具历”，P3247“大唐同光四年具注历”，散1719、0673“残历日”（罗氏定为后晋天福四年残历）、0675“残历日”（罗氏定为后晋天福十一年残历），《敦煌四部遗书目录》1720“天福四年残历”（罗振玉藏），《伯希和劫经录》3403“雍熙三年丙戌岁具注历日并序”下题：“押衙知节度参谋银青光禄大夫检校国子祭酒监察御史安彦存纂。”背有《大般若经》残文。
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刘复《敦煌掇琐》中之“大唐同光四年具历”，与罗振玉《贞松堂藏西陲秘籍丛残》之“后唐天成元年残历”原为一卷，分裂为二，惜时贤未之察也。庄宗同光四年四月甲寅，明宗改元天成，故二书题名虽异，其揆一也。《掇琐》七月廿二日以下缺八日，八月廿二日以下全缺；《丛残》适存七月廿三日至三十日八日，八月廿三日至十二月三十日若干日。《丛残》七月廿三日日干丙子，《掇琐》廿二日日干乙亥。《丛残》八月廿二日日干丙午，《掇琐》八月廿一日日干乙巳，咸相衔接；《丛残》八月廿二日存半行，破损不易辨认，以《掇琐》合之，适为廿二日乙巳火成下弦。犹有两字，不能辨识，则恐刘氏以原文上半不显，弃而未示其痕迹也。然则，刘录之所残，即罗氏之所存者欤？千年神物，虽已离立，若有呵护，今得若合符节矣。《丛残》原题“后晋天福十一年”。历书二月朔丁巳，当为天福十二年，罗氏博学审问，盖失之眉睫间耳。汪曰桢《长术辑要》卷八：“丁未（后汉高祖天福十二年，辽太宗大同、元世宗天禄元年）后汉仍用崇玄术，正丁亥。”陈垣《二十史朔闰表》五代、辽：丁未年正月丁亥，二月朔丁巳。“二月朔契丹建国曰辽，改大同。辛［丁］未汉仍称天福十二年，九月丁卯辽世宗改天禄。”可订罗氏之误也。《敦煌掇琐》另有《七曜吉凶避忌条项》一卷，七曜吉凶为西域所侈言者，敦煌卷子中屡见。温没斯作郁，那颉作郍颉、颉，鸡缓作鸡换，俱属印度译名，故不同矣。涵芬楼秘笈有《明译天文志》三卷，亦论七曜吉凶，原为西域著述，可复勘也。
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（原刊《敦煌语言文学论文集》1988年10月，浙江古籍出版社）
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