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图9-5 所有的理论组织起来，都可以放入上面这个谱系图中。从理论上说，本图中每个理论都可以由在它之上的更加基本的理论推演出来。比如，狭义相对论可以由广义相对论近似地推出（假设牛顿万有引力常数G等于0）；经典力学可以由广义相对论近似地推出（假设光速c为无限大）；流体力学及其各种概念如密度和压力，可以由经典力学中关于粒子如何相撞的理论推出。这些推演关系在图中用箭头符号来表示。然而，只有少部分箭头能被人们很好地理解。比如，要从化学推出生物学或从生物学推出心理学，在实践中很难实现。因为这些理论中，只有少部分和近似计算的某些方面是数学化的。目前物理学中发现的所有数学模型似乎都是对物理实在的有限方面的近似模拟。
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当然了，一位极其聪明的数学家一定可以仅从这些公式就推知图9-5中的整个理论谱系图，只要通过推演出公式所描述的物理实在及其内部居民的性质、居民对世界的认知，甚至他们发明的语言，就可以实现。这个纯粹的万物数学理论可能非常简单，简单到足以印在T恤衫上。
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这一切引出了一个问题：是否真能找到一个不涉及任何“包袱”的外部实在的完整描述？如果有，这个外部实在中的物体及其相互关系的描述必须是完全抽象的，迫使所有语言和符号都只是标签，不具备任何事先规定的意义。相比之下，这些实体仅有的性质都是由它们之间的关系所呈现出来的。
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万物理论描述的外部实在，正是一个数学结构
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要回答上述问题，我们需要再进一步研究一下数学。对一个现代逻辑学家来说，数学结构的精确定义是：一组相互联系的抽象实体，比如整数或几何图形，比如毕达哥拉斯最喜欢的十二面体。这与我们大多数人对数学的认知形成了鲜明的对比——在许多人看来，数学要么是一种虐待狂式的惩罚，要么是一个操控数字的魔法袋子。与物理学一样，数学的发展也追问着更广泛的问题。
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现代数学研究的是纯抽象方式定义的结构，无须任何“人造包袱”。想想那些不具任何内禀意义、仅作为标签的数学符号吧！你写成任何形式都没有关系：“2加2等于4”“2+2=4”“Dos más dos es igual a cuatro”[51]。用什么符号来代表这些实体及其相互关系，是无关紧要的。整数仅有的性质是由它们之间的关系所呈现出来的。也就是说，数学结构并不是人类发明出来的——我们只是发现了它们，并发明了用来描述它们的符号。千万不要混淆（我们发明的）数学语言和（我们发现的）数学结构。如果一个外星文明对每面平坦且全等的三维形状感兴趣，他们可能会发现图6-2中的5个被地球人叫作“柏拉图多面体”的形状。他们可以为它们随意起一些具有异“星”风情的名字，但是他们却无法任意创造出第6个形状——因为它根本不存在。正因如此，现代物理学中流行的数学结构，从3+1维的伪黎曼流形（pseudo-Riemannian manifolds）到希尔伯特空间，都是被我们发现而非发明出来的。
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总而言之，上面的讨论可以总结为以下两个关键点：
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●外部实在假说意味着，“万物理论”（外部物理实在的完整描述）没有任何“包袱”。
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●一个不带任何“包袱”的描述，正是一个数学结构。
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这两条关键点恰恰证明了数学宇宙假说，即被万物理论所描述的外部物理实在，就是一个数学结构[52]。结果就是，如果你相信我们的外部实在是独立于人类存在的，那么你也必须相信我们的物理实在是一个数学结构。只有它才是不含“包袱”的。也就是说，我们都栖身在一个巨大的数学对象中，它比正十二面体还要精致优雅，可能比卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds）、张量丛（tensor bundles）和希尔伯特空间等拥有吓人专业名字的最前沿物理学概念更加错综复杂。我们宇宙中的万事万物，都是纯粹的数学——包括你在内。
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数学结构到底是什么
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“等一等！”每当一个物理学理论或主张提出一些亟待解决的问题时，我的好友贾斯汀·本迪斯就会这样喊道。而数学宇宙假说则提出了三个此类问题：
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●到底什么是数学结构？
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●为何我们的物理世界是一个数学结构？
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●它是否能作出一些可供检验的预测？
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我们将在第10章和第11章分别探讨第二个和第三个问题。现在，让我们开始探索第一个问题——第11章中，我们将回到这个问题，进行更详细的讨论。
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“不朽对局”的棋局
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前面我们看到了人类如何为我们的描述添加上各种“包袱”。现在，让我们来看看对立面——数学抽象如何能消除“包袱”，剥离至万物赤裸的本质。我们先来看看那个被称为“不朽对局”（Immortal Game）的棋局（见图9-6）。对局中，白棋引人注目地牺牲了两个车、一个象和一个后，用剩下的最后3个轻子完成了将死。这个对局最早于1851年出现在阿道夫·安德森（Adolf Anderssen）与莱昂内尔·吉塞芮茨基（Lionel Kieseritzky）的对弈中。每年，同样的棋局都会重复出现在意大利的马罗斯蒂卡（Marostica），世界各地的象棋爱好者会涌至此地，重复这个对局，有的棋手还会装扮成棋子的样子。一些棋手（包括我弟弟佩尔、他儿子西蒙和我儿子亚历山大，图9-6左一）会使用木头做的棋子；还有一些人会用大理石或塑料做成不同形状和大小的棋子，棋盘有的是棕色和米黄色相间，有的是黑白相间；还有一些则是虚拟的三维或二维计算机图像（图9-6右一）。但是你会觉得，这些细节都不重要——当棋迷们用“美丽”这个词来形容不朽对局时，他们并不是指棋手、棋盘和棋子具有吸引力，而是指一个更抽象的实体，一场抽象的比赛，或者说是棋子运动的序列。
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图9-6 一场抽象的象棋比赛与棋子的颜色和形状无关，也与棋子是在物理存在的棋盘还是虚拟的计算机渲染图像上运动，或是所谓的代数记谱法上运动无关——它都是同一场棋局。类似地，数学结构也与描述它的符号无关。
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现在，让我们来看看人类是如何描述这些抽象实体的。首先，一段描述必须明确而具体，所以我们发明了客体、语言或其他符号来表示抽象的思想，比如，在美国，我们把可斜着走的棋子叫作“主教”（bishop）。其次，这个名字显然是很随意的，换个名字也无妨——实际上，法国人管这个棋子叫作“小丑”（fou），斯洛伐克人称之为“射手”（strelec），瑞典人称之为“跑者”（l pare），而波斯语称之为“象”（fil）。然而，我们可以引入一个强大的武器，将这些不同的称谓统一起来，让不朽对局保持独一无二的特性。这个武器就叫作“等价”。
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●我们将同一个事物的两个不同描述定义为“等价”。
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●如果两个描述是等价的，则它们描述的是同一个事物。