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探索第四层多重宇宙：那里有什么
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我们附近的邻居
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让我们花一些时间来探索第四层多重宇宙，以及其中繁复多样的数学结构吧。先从附近的邻居开始。虽然我们尚不知晓自己所处的这个数学结构究竟是什么，但不难想象，对其进行一些小小的调整，就可能衍生出其他合理且有效的数学结构。比如，粒子物理学的标准模型包含某些对称性，数学家们将其描述为SU（3）×SU（2）×U（1）。如果用其他不同的对称性来替代它们，我们就能得到一个拥有不同粒子和作用力的数学结构，其中，夸克、电子和光子被其他具有全新特性的实体所取代。一些数学结构中没有光，还有一些没有万有引力。爱因斯坦对时空的数学描述中，数字1和3分别代表时间和空间的维度，此时为了进行调整，你可以随便找两个数字来替代它们。
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第5章中我们已经讨论过，尽管一个数学结构中只拥有一组基本物理定律，但暴胀能在空间中的不同区域创生出不同的有效物理定律，形成第二层多重宇宙。而现在，我们正在讨论一些更加彻底和激进的东西，在这里，哪怕是最基本的物理定律也不尽相同，比如，根本没有量子力学。假如弦理论能用数学来严格定义，那么一定存在一个数学结构，它的“万物理论”正好就是弦理论，但除此之外的其他第四层多重宇宙的万物理论却可能迥然相异。
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在思考第四层多重宇宙时，我们需要任想象力自由飞翔，不要让它被我们先入为主的观念所束缚，比如物理定律理应是什么样的。想一想空间和时间：它们不一定非得与我们熟知的那样是连续的，也可以是离散的，就像电子游戏“吃豆人”、俄罗斯方块一样，所有动作都像抽筋一样跳跃。只要关闭所有的用户输入，让时间演化循着确定的方向计算下去，那么，这些游戏都能成为有效的数学结构。比如，图11-3中展示了一个3D的俄罗斯方块游戏，叫作“FRAC”，它是我和好友佩尔·柏格兰（Per Bergland）于1990年开发的。如果你玩这个游戏时不按键盘（这可不是得高分的好策略），那么整个游戏，从开头到结尾都会被程序中简单的数学规则所决定，这让它也成了一个数学结构，成为第四层多重宇宙的一部分。甚至有许多人猜测，我们所在的宇宙里也可能藏着时空不连续点，但由于规模太小，隐于毫厘之间，尚未被我们注意到。
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让我们更彻底一点：一些数学结构，完全摒弃了时间和空间，因此我们根本想象不出里面会发生什么事。图11-4所列举的大部分结构都是这种类型。在一个抽象的十二面体中，什么都不会发生，因为这个数学结构中不包含时间。
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图11-3 3D俄罗斯方块游戏FRAC体现了一个时空离散而非连续的数学结构。
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图11-4 计算机程序能自动生成一个有序的总览表，包含所有有限的数学结构。其中，每个结构都编码为一串数字。本图举了一些例子，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。第二列中的文字和图解则是冗余的包袱，反映了我们人类为这些结构所起的名字和所画的图示。
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我们在第四层多重宇宙中的“邮政编码”
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我们在第9章中讨论过，一个数学结构就是一组简单的抽象元素以及它们之间的关系。为了更系统地探索第四层多重宇宙，我们可以写一个计算机程序来自动生成一系列数学结构，从最简单的开始，循序渐进到愈发复杂的个体。图11-4展示了这种序列中的10个条目，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。编码的细节并不重要，但有一点需要注意：它有一个美好的特点，每个元素数量有限的数学结构都会出现在这个序列里的某个地方。所以，每个有限数学结构都能用一个数字来表示，也就是它在这个总览表中的行编号。
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扫码获取作者的论文，查看编码方案。
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对有限的数学结构来说，所有关系都能用有限的数表来描述，这种方法是从乘法表中归纳出来并推至其他关系的。如果一个结构的元素数量十分庞大，数表就会变得长篇累牍，从而产生极大的编码，序列往下拉不到底。然而，在这些大结构中，有少量体现出了优雅的简单性，使它们极易被描述。比如，一个数学结构的元素是整数：0、1、2、3……它们的关系是加法和乘法。如果为了详述它们的乘法关系而写下所有相乘的数对，这将形成一个庞大的乘法表。即使只写前100万个数字，也要画出一个100万行×100万列的巨大表格，包含着1万亿个条目。这将是一种巨大的浪费。所以，我们在教小学生乘法时，只需要把乘法表的前10个数字教给他们，然后教他们使用简单的运算法则来计算多位数乘法就可以了。比起小学生，我们教计算机算乘法的方法更有效——将数字转化为二进制，这样，我们只需要为0和1准备一张2×2见方的乘法表，再加上一个短短的程序，计算机就学会了如何计算任意大的数字。
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一个计算机程序是以一个由0和1组成的有限串（位串，bit string）存储起来的，也可解释为一个二进制的整数。这让我们可以用另一种方法来编码和列举图11-4中的数学结构，即对某一个数学结构，找出所有能描述它全部元素关系的计算机程序，并挑选出位串最短的那个，用其对应的二进制整数来代表这个数学结构。只要这种描述够简单，它就会出现在更靠近序列顶端的地方，即使它的元素很多，体积很庞大。复杂性理论（complexity theory）的先驱雷·索洛莫洛夫（Ray Solomonoff）、安德雷·科尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）和格里高利·蔡廷（Gregory Chaitin）将位串的算法复杂性（algorithmic complexity，或简称为复杂性）定义为：最短的完备描述的位长，例如输出那个位串的计算机程序。这意味着，用这种方法调整过的总览表是以数学结构的复杂性按照升序排列的。
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这种总览表的精妙之处在于，它也能处理那些拥有无限多元素的数学结构。比如，为了定义一个包含所有整数及其加法和乘法的数学结构，我们只需指定一个最短的程序，让它能读入任意大数，并运行加法和乘法就行——Mathematica软件和其他计算机代数软件包中都有这样的算法。涉及连续统上无限多个点的数学结构（如时空、电磁场和波函数），也能在计算机上用有限的数学结构来近似计算。实际上，我和我的同行们在实践中进行理论物理学计算时，就是这么做的。
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总而言之，要系统地描绘第四层多重宇宙的图景，可以用计算机列举数学结构，并研究它们的性质。假如有一天，我们真能确定我们宇宙的数学结构，就能用它在总览表中的序号来指代它。此时，我们将能第一次确定自己在整个物理实在中的“地址”，正如图11-5中那个异想天开的信封一样。地球上各个国家都有各自的方式来指定地址，比如，有的邮编全是数字，有的邮编包含字母，有的甚至根本不用邮编。同样，在多重宇宙中，你书写地址的方式也会随着数学结构的不同而发生变化：大多数平行宇宙既没有量子力学也没有暴胀，因此缺乏第一、第二和第三层平行宇宙，更没有行星；而其他宇宙，有可能包含着其他类型的平行宇宙，呈现出我们做梦都想象不到的样子。
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图11-5 为了确定我在整个物理现实中的准确地址，我需要列出我在第四层多重宇宙中的位置（即我的数学结构序号），我在第三层多重宇宙中的位置（即我在量子波函数中的分支），我在第二层多重宇宙中的位置（即我在暴胀后的哪一个泡泡中），我在第一层多重宇宙中的位置（即我的视界范围），以及我在这个宇宙中的位置。在这个例子中，我只列出了有限的数字。但每层多重宇宙中都可能存在着无限多个成员，这使得我的地址超级长，长到这个信封根本写不下。
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第四层多重宇宙的结构秘密
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研究第四层多重宇宙是一件有趣的事。如果我们用通俗的形式主义把数学定义为“对数学结构的研究”，那么对第四层多重宇宙的研究就应该是数学家的营生。像我这种相信数学宇宙假说的物理学家，研究它就相当于探索终极的物理实在，并寻觅我们在其中所处的位置。此外，从便利的角度来说，比起另外三个层级较低的多重宇宙，探索第四层多重宇宙更容易一些，甚至比探索我们自己的宇宙还简单，因为它不需要火箭和望远镜，仅仅需要计算机和思想就足够了！因此，我花了很多年的时间醉心于编写计算机程序，来演算这种数学结构的表格，以及我们刚刚讨论过的那些分类，并深深地乐在其中。
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在实际操作时，你会遭遇到巨量的冗余。许多不同的编程方法都能实现同一个计算，同样地，也有相当多等价的方法，能用数表来描述有限的数学结构，比如，各自对应着不同的元素排序和标记方法。数学结构和描述是等价的（见第9章），因此，每一个数学结构在总览表中都只会出现一次，并且是用它最短的那个等价描述来指代的。