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用钟指针长度的平方计算在某特定位置找到粒子的概率，这并不让人很难领会，但它的确看起来像是我们（更准确一点说是马克斯·玻恩）凭空捏造的。从历史角度来看，它也确实让很多大科学家接受，包括爱因斯坦和薛定谔。半个世纪后，狄拉克回顾1926年的那个夏天时写道[71]：“结果发现，找到诠释比得到方程要困难得多。”尽管这很困难，值得一提的是，在1926年末，氢原子辐射的光谱，这个19世纪物理学的最大谜团之一，就分别通过海森伯和薛定谔的方程被计算出来了（狄拉克最后证明了这两种方法在所有情形中都是完全等价的）。
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1926年12月4日，爱因斯坦在寄给玻恩的一封信中写下了他反对量子力学概率性的名句：“这个理论说了很多，但并未引领我们更接近他老人家的奥秘所在。无论如何，我确信，他老人家不掷骰子（德文：Der Alte würfelt nicht.）。”问题是在此之前，人们都假设物理学是完全确定性的。当然，概率不只在量子理论中存在，使用它的场景从赌马到热力学，多种多样。别忘了，热力学是整个维多利亚时代[72]工程学的基础。但是，我们在这些情形中使用概率，是因为缺乏对研究对象的了解，而不是因为某种基本性质。想想掷一枚硬币——赌博的雏形。我们对概率在这种场合的应用都很熟悉。如果掷硬币100次，我们预想的是，平均有50次是正面朝上，50次反面朝上。在量子理论出现之前，我们必须得说，如果知道了关于这枚硬币的一切——包括掷向空中的具体方式、重力吸引、拂过房间的微风、空气温度等等——则我们在原则上就可以算出，硬币是会正面还是反面向上落地。因此，概率在这种场合中的出现，反映出的是我们对所研究体系的无知，而不是体系本身的内在性质。
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而量子理论中所说的概率则完全不同，它是基本性质之一。我们只能预测粒子处于此处或彼处的概率，不是因为我们无知。即使在原则上，我们都无法预测粒子的位置会在何处。如果我们去找的话，我们能完全精确地预测的只是粒子在某特定位置被找到的概率，及这个概率如何随时间而变化。1926年，玻恩优美地表达了这一点[73]：“粒子之运动遵循概率法则，而概率本身则按因果律传播。”这正是薛定谔方程的作用：只要给定了它在过去的样子，用这个方程就能计算出波函数在未来的样子。就此而言，薛定谔方程类似于牛顿诸条定律。不同的是，用牛顿诸条定律能计算出粒子在未来任意时刻的位置和速度，而用量子力学只能计算出粒子在某特定位置被找到的概率[74]。
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这种预测能力的丧失，曾困扰了爱因斯坦和他的很多同行。得益于八十多年来的后见之明，和在此期间研究者们大量艰苦的工作，这些争论现在看来有些多余。我们很容易就能总结道，玻恩、海森伯、泡利、狄拉克等人是对的，而爱因斯坦、薛定谔等“老卫兵”是错的。但在那个时候，当然有可能怀疑量子理论在某些方面并不完备，而概率的出现是因为我们忽略了粒子的某些信息，正如在热力学或掷硬币中那样。今天，这种想法便罕有认同了。理论和实验的进展指出，大自然确实使用随机数；而在预言粒子位置方面丧失确定性，是物理世界的一种内在性质。计算出它出现的概率是我们能做到的极限。
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[48]理查德·费曼，姓氏或译费恩曼，1918年生于纽约，1988年卒于洛杉矶，美国理论物理学家。
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[49]Bongos，一种拉美双鼓。
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[50]弗里曼·戴森，1923年生于英国伯克郡克罗索恩，2020年卒于美国新泽西州普林斯顿，英裔美籍理论物理学家和数学家。
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[51]The Feynman Lectures on Physics，电子版见https://www.feynmanlectures.caltech.edu/
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[52]译文出自第三卷第一章《量子行为》第一节《原子力学》，译文参考了潘笃武、李洪芳的中译本，上海科学技术出版社出版。
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[53]威廉·莎士比亚，1564年生于沃里克郡埃文河畔斯特拉特福，1616年卒于同地，英格兰戏剧家和诗人。
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[54]哈姆雷特，莎士比亚同名作品中的主要角色之一，丹麦王子。
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[55]本段取自第一幕第五场末尾；中译文取自朱生豪译本。
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[56]Horatio，莎士比亚《哈姆雷特》中的主要角色之一，哈姆雷特的好友。
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[57]后面会看到，指针的长度还代表振幅。
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[58]在本章中，钟指针随着月相或者波的相位变化，是顺时针转动的；而在下一章和以后，钟指针是逆时针转动的。
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[59]注意图3.2中这些是逆时针方向标注的，而钟面上是顺时针。
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[60]在外国通常称为毕达哥拉斯（希腊文Πυθαγόρας，拉丁文转写：Pythagóras）定理。
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[61]不确定性原理（英文：Uncertainty Principle；在当代德文中叫作Unschär-ferelation），直译是模糊关系。
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[62]对于熟悉数学的读者，可以如此替换词汇：“钟”换成“复数”，“钟的大小”换成“复数的模长（modulus）”，“指针的方向”换成“相位”。（原书注）
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[63]埃尔温·薛定谔，1887年生于奥地利维也纳，1961年卒于同地，奥地利籍爱尔兰籍理论物理学家。
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[64]指题为《作为特征值问题的量子化》的四篇论文中的最后一篇，发表于德文《物理年鉴》第386卷第18期第109—139页。
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[65]拉丁文转写：Psi，中文音译普西。
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[66]马克斯·玻恩，1882年生于今属波兰的弗罗茨瓦夫，1970年卒于哥廷根，德国理论物理学家和数学家。
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[67]指题为《论碰撞过程的量子力学》的两篇论文中的第一篇，发表于《物理学期刊》第37卷第863—867页。
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[68]沃尔夫冈·泡利，1900年生于维也纳，1958年卒于苏黎世，奥地利籍理论物理学家。
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