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当粒子能从几个不同位置到达同一点时，我们把钟面加起来，这并不很奇怪。被加起来的每块钟都代表着一种粒子能到达X的不同方式。回顾前面的双缝实验，能更好地理解这里的钟面相加只是为了把对波叠加的描述，用钟面转述出来。可以想象初始的两块钟，每条狭缝处各有一块。在之后的时刻，每块钟都会向荧幕的某个特定位置递去一块钟，而我们得把放下的这两块钟加起来，才能得到干涉条纹[81]。小结一下，计算任意位置的钟的规则就是，用上一章里描述的规则，把所有初始钟逐个在那个位置产生的新钟都加起来。
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发明这套钟和指针的语言是用于描述波的传播，同时我们也可以用这些术语来描述更熟悉的波。其实，这些想法历史悠久。荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯[82]（Christiaan Huygens）早在1690年就对光波的传播做出了类似的著名表述。他并未谈论虚拟的钟，而是强调我们应该把光波中的每一点都看作一个次级波源（就像每一块钟都产生很多次级钟）。这些次级波重叠产生一列新波。这个过程不断重复，因此新波中的每一点也是波源，产生之后的波；后者再重叠，而波就在这种过程中前进。
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现在可以回到一个有足够理由困扰你的问题。我们究竟为何选择mx2/t作为钟指针的旋转量？这个量有一个名字，叫作作用量（action）；它有一段悠久而可敬的历史。无人真正理解为何大自然以如此基本的方式运用它，这就是说无人真正能解释为何这些钟会转过这个角度。这就引出了下一个问题：怎么会有人意识到作用量的重要性？德国哲学家和数学家戈特弗里德·莱布尼茨[83]（Gottfried Leibniz）于1669年在一篇未发表的作品里首先提出了作用量，尽管他未能找到在计算中应用它的方法。作用量由法国科学家皮埃尔·路易·莫罗·德·莫佩尔蒂[84]（Pierre-Louis Moreau de Maupertuis）于1744年重新引入，随后被他的朋友，数学家莱昂哈德·欧拉[85]（Leonhard Euler）用于建立一套描述大自然的全新原理，相当有力。想象一个球飞过空中，欧拉发现，该球轨迹上任意两点间的作用量始终小于其他任意轨迹所需的作用量。对于球的例子，作用量与球的动能和势能之差有关[86]。这被称为“最小作用量原理”（principle of least action），可在某些情况下用于替代牛顿第二和第三定律。初看起来，这个原理很古怪，看似球为了以极小化作用量的方式飞行，它需要在抵达某处之前，就得知道它会到那。若非如此，作用量又怎么会在球飞过空中之后被最小化呢？以这种方式表述的最小作用量原理貌似遵循的是目的论：事情是为了实现预定的结果而发生。目的论的想法在科学中名声通常很坏，原因也很明显。在生物学中，复杂生物出现的目的论解释，会等同于支持造物主存在的论证，而达尔文[87]（Charles Darwin）的自然选择进化论，能给出更简单的解释，并且美妙地符合所有数据。在达尔文地理论中，没有目的论的成分：生物体通过随机突变产生变异，而来自环境的外界压力和其他活物共同决定哪些变异会被传给下一代。只靠这个过程，就能形成我们今天在地球上看到的复杂性。换句话说，生物既不需要宏图远谋，也不会日臻完美。与之相反，生物进化是随机行走（random walk），由基因在不断变化的外部环境中不完美地复制所产生。获得诺贝尔奖的法国生物学家雅克·莫诺[88]（Jacques Monod）甚至将“系统性或公理性地否定科学知识可以由显性或隐性地基于目的论原理的理论中得到”称为现代生物学的里程碑。
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就物理学而言，对于最小作用量原理是否有效，并无争议；因为它给出的计算结果能正确描述大自然，是物理学的一块基石。只要我们引入费曼的量子力学方法，就可以论证最小作用量原理根本不是目的论的，这些争议就能平息了。飞过空中的球“知道”要选择哪条路径，因为它暗中探索了每一条路径。
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钟指针旋转角度规则和作用量的关系是如何被发现的？从历史角度来讲，狄拉克是探索包含作用量的量子理论形式第一人，但他却剑走偏锋，将研究发表在一本苏联期刊中，以示支持苏联科学。以《量子力学中的拉氏量》[89]为题的这篇论文发表于1933年，多年以来蛛网尘封。1941年春，年轻的理查德·费曼已经着手思考，如何用经典力学最小作用量原理导出的拉氏公式发展一套量子理论的新方法。在普林斯顿的一场啤酒派对上，他遇上了赫伯特·杰勒[90]（Herbert Jehle），一位来自欧洲的访问物理学家。像所有物理学者们喝了几杯后都会做的那样，他们开始讨论研究思路。杰勒记得狄拉克的尘封论文，第二天他们就在普林斯顿图书馆里找到了它。费曼立刻开始用狄拉克的理论形式计算。那个下午，就在杰勒的注目下，费曼发现他能从作用量原理中导出薛定谔方程。这是前进的一大步，尽管费曼一开始以为狄拉克一定也已经导出了相同的结果，因为这看起来非常容易；如果你是费曼当然就会觉得容易。费曼后来询问狄拉克，是否知道他1933年的论文只要在数学上多推导几步，就能得到这个结果。据费曼回忆，狄拉克在作完一堂乏善可陈的报告后，躺在普林斯顿的草坪上，简单地答道：“不，我不知道。有点意思。”狄拉克是有史以来最伟大的物理学家之一，但也是个沉默寡言的人。同为最伟大的物理学家之一的尤金·维格纳[91]（Eugene Wigner）评价说：“费曼是第二个狄拉克，只是这次他更接近人类。”
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小结：我们阐明了一条规则，使我们能写下完整的一系列钟来表述粒子在某时刻的状态。这条规则有点奇怪：用无穷块钟充满整个宇宙，它们的指针相对旋转量取决于作用量，一个古怪但有历史重要性的量。如果两块或更多块钟落在同一处，就将其相加。这条规则的前提是，必须接受粒子能从宇宙中的任意特定位置，在无穷短的时间内，就跳到其他任何地方。我们在一开始就说过，这些怪异的想法最终必须经受大自然的考验，才能看出是否含有合理的成分。首先，我们来看一个十分具体的例子：海森伯的不确定性原理，作为量子理论的基石之一，是如何从这表面的混乱中衍生出来的。
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量子宇宙 海森伯的不确定性原理
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海森伯的不确定性原理是量子理论中最受误解的部分之一，它是一道门，各种江湖骗子跟杂碎[92]贩子都能通过它编出一套哲学沉思。海森伯的不确定性原理被他发布在1927年的一篇题为《论量子理论运动学与力学之物理内涵》（Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik）的德文论文中。这篇论文的题目很难被翻译成英文。难点在于anschaulich，意思大概是“物理的”或“直观的”。海森伯的动力来源似乎是因为恼火于看到薛定谔的量子理论形式由于更符合直观，而比自己的版本更广为接受，尽管两者能够得出同样的结果。在1926年春，薛定谔确信，他关于波函数的方程，给出了原子内部活动的物理图像。他以为，他的波函数是一种能可视化的东西，跟电荷在原子内的分布有关。后来证实这是不正确的，但它至少让物理学者在1926年的前六个月中感到舒适，直到玻恩引入了他的概率诠释。
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在另一方面，海森伯已经基于抽象的数学建立了自己的理论，能极其成功地预言实验结果，但却没有一个清晰的物理来诠释。1926年6月8日，海森伯在写给泡利的一封信中表达了他的烦恼[93]，“关于薛定谔理论的物理部分，我思考得越多就感到越厌恶。关于他理论的Anschaulichkeit[94]，薛定谔写道‘不太可能是恰当的’，我换句话说就是Mist。”德文Mist的翻译是“垃圾”或者“胡扯”……或者“杂碎”。
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海森伯决定要做的是，探索“直观图像”或者说是Anschaulichkeit，对于物理学理论应为何种含义。他问自己，量子理论该如何解释关于粒子的常见性质比如位置呢？本着他最初的理论精神，海森伯提议，对于粒子的位置，只有阐明清楚如何测量它，它才有确切的含义。如果不能准确地描述怎么找到，就不能问氢原子中电子在哪。这听起来可能像语言游戏（semantics），但它绝对是有据可循的。海森伯意识到，测量动作本身就会引入扰动，这限制了我们能“认识”电子的程度。具体一点，在他的原始论文中，同时测量粒子的位置和动量时，海森伯估算出了两个测量精确度之间的关系是什么。在他著名的不确定性关系中，海森伯阐述，如果Δx是我们对粒子位置知识的不确定度（希腊字母Δ读作“delta”或“德尔塔”，所以Δx读作“delta x”或“德尔塔艾克斯”），而Δp是对应的动量不确定度，则：
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ΔxΔp~h
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其中h是普朗克常数，而“~”意为“在数量级上相当”。用文字表达就是，粒子位置和动量的不确定度之乘积，大致等于普朗克常数。这意味着，我们愈是精确地确定粒子位置，对其动量就所知愈少，反之亦然（拉丁文：vice versa）。海森伯得出这个结论，是通过对光子在电子上散射的深入思考。光子是“看到”电子的方式，如同我们看到日常物体，是通过光子散射于其上，并落入我们的眼睛一样。通常，从物体上反弹的光，对物体的扰动难以觉察，但得承认，我们在基本层面上，不能把测量独立于被测物之外。人们可能会烦恼，是否有可能通过设计适当、巧妙的实验，来打破不确定性原理的限制。下面将展示，这是不可能的；而不确定性原理是绝对基本的，因为我们将只用钟的理论来推导它。
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量子宇宙 用钟的理论来推导海森伯的不确定性原理
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不同于先前针对开始于单点位置的单个粒子，我们将考虑“大致知道粒子位置但不知道它究竟在哪”的情形。如果知道一个粒子位于空间中的某个小区域，则我们应该用一群填满该区域的钟来表示它。在区域中的每一个点上都有一块钟，而钟指针长度的平方将会表示在该处找到粒子的概率。如果把钟指针的长度求平方，并把它们都加起来，就会得到1。也就是说，在这块区域中找到粒子的概率是百分之百。
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我们过一会儿将用量子规则做一项严肃的计算。不过首先笔者得和盘托出，之前在钟转动规则的部分，未能做一条重要的补充说明。笔者之前没有引入它，因为这是一个技术细节；但如果要计算真正的概率，忽略了它就不会得到正确的答案。这条细节和我们在上一段末尾所说的内容有关。
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如果我们从单个粒子所在位置的钟开始，则钟指针长必须是1，因为这个粒子必须以100%的概率能在钟所处的位置被找到。根据我们的量子规则，为了描述从起始位置跳跃之后某时刻的粒子，我们应该将钟传送到宇宙中所有的位置。显然，不能让所有钟指针的长度都保持为1，因为那样我们的概率诠释就崩塌了。举例来说，想象粒子由四块钟描述，对应位于四个不同位置的情形。如果每块钟的大小都是1，则粒子位于四个位置中任一个的概率就是400%，这当然是荒谬的。为了修补这个问题，除了将这些钟顺时针旋转，还须缩小它们。这条“收缩规则”是说，在所有新的钟都产生出来后，每块钟都应该以钟总数的平方根为倍数收缩[95]。对于四块钟的情形，那就是说每条指针都须缩小倍，也就是说最终每块钟的指针长都是1/2。这样，在四块钟的每一块那里，都有(1/2)2=25%的机会找到这个粒子。用这种简单的方式，我们就能保证，在某处找到粒子的总概率永远是100%。当然，可以有无穷多可能的位置，此时一些钟的大小是零。这可能让人担心，但数学可以处理它。对我们来说，只要想象钟的数量是有限的就够了；并且在所有情形中我们都永远无需知道，一块钟到底收缩了多少。
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让我们回到之前的例子中，考虑宇宙中有单个粒子，且不知道其精确的位置。你可以把下面一节当作一个数学小谜题。初次阅读时会感到棘手，也许值得重读一遍；但如果你能够跟上思路，就能明白不确定性原理是如何出现的。简单起见，假设粒子运动于一维，就是说它位于一条直线上某处。更实际的三维情形在本质上没有区别，只是更难画出来罢了。在图4.3中我们绘出了这种情形，用位于一条直线上的三块钟来表示。我们应该想象，钟比这要多得多，在每一个粒子可能处于的位置上都会有一块，但这会非常难画出来。三号钟坐落在初始钟群的最左端，一号钟在最右端。重申一下，这表示的情形是，我们知道粒子从一号到三号钟的中间某处开始运动。牛顿会说，如果我们不去动粒子，则它会停在一号和三号钟之间。但量子规则会说什么呢？这就是乐趣的起点，我们会反复应用钟的规则，来回答这个问题。
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图4.3：三块位于一条直线上的钟都指向相同的时间，这描述了一开始位于这些钟所处的区域。我们感兴趣的是，在之后某时刻，在X点处找到粒子的概率。
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让我们允许时间滴答前进，并搞明白这一列钟会如何变化。我们会从一个离初始钟群很远的特定位置开始考虑，在图中记为X。后面会对“很远”做更定量的描述，但是现在它就只意味着需要把钟转很多圈。