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我们追随狄拉克和费曼而做出的初始拟设是，描述粒子的钟指针转过的圈数正比于其作用量。对于质量为m、在t时间内跃过距离x的情形，这正比于mx2/t。如果我们想得到具体的数，说“正比于”就不够好。需要知道精确的转动圈数。在第二章中我们讨论过牛顿的引力定律。为了得到定量的预测，我们引入了牛顿引力常数，它决定了引力的强度。有了牛顿引力常数，就可以把数代入方程中，算出具体的结果，比如月球的轨道周期，或者“旅行者2号”航天器在太阳系中旅程的轨道。我们现在需要量子力学中的相似物，一个大自然的常数，能“设定尺度”，让我们对于在特定时间内由初始位置被移过特定距离的粒子，能根据其作用量计算出钟的精确旋转圈数。那个常数就是普朗克常数。
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量子宇宙 普朗克常数简史
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在1900年10月7日一个妙思泉涌的夜晚，马克斯·普朗克设法解释了灼热物体辐射能量的方式。在整个19世纪下半叶，灼热物体的光辐射波长分布与其温度的确切关系，是物理学界的最大谜团之一。所有灼热物体都发射光，且随着温度增加，光的性质也会改变。我们很熟悉彩虹这样的可见波段的光；但光也能以对肉眼来说过长或过短的波长出现，这样人就看不见它们。比红光波长更长的光称之为红外（infra-red）光，可以透过夜视镜看到。波长更长的光对应无线电波。类似地，比蓝光波长更短的光称之为紫外（ultra-violet）光，而最短波长的光一般称为“伽马射线”。室温下，一块未燃烧的煤会发射出光谱（spectrum）中红外部分的光。但如果我们将其投入火堆中，煤块就会开始发出红光。这是因为，随着煤块的温度上升，其辐射光的平均波长减小，最终进入我们肉眼可见的范围。规则是，物体愈热，发射光的波长越短。在19世纪，随着实验测量精度的提升，依然没人知道该用什么样的数学公式来正确地描述这项观测。这个问题常被称为“黑体（black body）问题”，因为物理学者把能完全吸收并发出辐射的理想化物体称为“黑体”。这个问题很严峻，因为它代表着我们无法理解任何或者说是所有物体发出的光的性质。
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在普朗克于柏林被任命为理论物理学教授之前的许多年里，他一直在仔细思考这个问题，并将热力学和电磁学领域中的内容联系了起来。普朗克的这个教授职位早前也被提供给了玻尔兹曼[100]（Ludwig Boltzmann）和赫兹，但两人都拒绝了。当时的柏林正是黑体辐射的实验研究中心，普朗克能沉浸于实验工作的核心这实属巧合，而这成了他后来展现的理论物理绝技的关键。当物理学者与同事进行广泛而无计划的谈话时，往往工作成效最佳。
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我们非常清楚普朗克获得启示的日期和时刻，因为他和家人在1900年10月7日和他的同事海因里希·鲁本斯[101]（Heinrich Rubens）一起度过了一个下午。在午餐时，他们讨论了当时的理论模型在解释黑体辐射的细节时的失败。到了晚上，普朗克在一张明信片上草草写下一个公式，并寄给了鲁本斯。结果它就是正确的公式，但它也的确十分奇怪。后来据普朗克描述，这是他在尝试过其余所有能想到的方案后的“背水一战”。直到现在也没有人知道普朗克究竟是如何得到他的公式的。在阿尔伯特·爱因斯坦的经典传记《上帝难以捉摸》[102]中，作者亚伯拉罕·派斯[103]（Abraham Pais）写道：“他（普朗克）的推理是疯狂的，但他的疯狂具有神圣的品质，只有最伟大的过渡型人物才能带给科学。”普朗克的提案既费解又具革命性。他发现，只有当假设发射光由大量小能量“包”组成时，他才能解释黑体辐射光谱。换句话说，总能量以一个新的大自然基本常数为单位而量子化，普朗克将其称为“作用量的量子”。今天，我们称其为普朗克常数。
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尽管普朗克在当时并未意识到这一点，他的公式其实在暗示，光总是以小包或者说量子的形式被发射和吸收。在现代记号中，这些小包含有能量E=hc/λ，其中λ（读作lambda或兰布达）是光的波长，c是真空中的光速，h是普朗克常数。在这个公式中，普朗克常数是换算因子，将光的波长换算成与之关联的光量子的能量。普朗克认为，光本身由粒子组成，所以辐射光能量是量子化的。而这个最初是由阿尔伯特·爱因斯坦在他创造力井喷的1905年提出的[104]。在这个被称为奇迹年（拉丁文：annus mirabilis）的年份里，他还创造了狭义相对论，以及科学史中最著名的公式，E=mc2。爱因斯坦在1921年由于在光电效应上的工作获得诺贝尔物理学奖（而由于诺奖的神秘规定，他在1922年才获得颁奖[105]），而非更有名的两种相对论。爱因斯坦提议，光可以被看作是粒子流（他在当时没有使用“光子”一词）；他还正确地认识到，每个光子的能量反比于其波长。爱因斯坦的这个猜想是量子理论中最著名的佯谬之一的起源——粒子的行为像波，反之亦然。
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普朗克向人们展示，要描述热物体发射的光能，只能假设发射是以量子的形式。这就从麦克斯韦关于光的图像那里挖走了墙脚的第一块砖。最终是爱因斯坦挖空了墙脚，让经典物理学的大厦轰然倒塌。他对光电效应的诠释，不仅要求光以小包发射，还要求它与物质以局域波包的形式相互作用。换句话说，光的行为真的像粒子流一样。
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光由粒子组成的，或者说，“电磁场是量子化的”，这种观念极富争议，在爱因斯坦首次提出它的数十年后仍未被接受。爱因斯坦的同僚不愿接受光子的观点，这可以从推荐爱因斯坦加入声名卓著的普鲁士科学院（德文：Preußische Akademie der Wissenschaften）的一份提案中看出来。这份由普朗克本人联署的推荐案完成于1913年，距爱因斯坦引入光子晚了整整八年[106]：
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综上所述，在当代物理学如此众多的重大问题中，几乎没有一个是爱因斯坦未曾做出重要贡献的。他在推测中有时也会无的放矢，如他的光量子假说，但这不能过分苛责他；因为若不偶尔勇于冒险，就不能在最精确的自然科学中引入真正的革新。
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换句话说，没有人真正相信光子是真实的。人们普遍认为普朗克较为稳妥，因为他的提案更多地涉及物质的性质——发射出光的小振子——而不是光本身更有关联。要相信麦克斯韦的优美波动方程需要被替换成一个粒子理论，实在是太奇怪了。
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笔者提及这段历史，部分原因是为了让你相信这些困难是要接受量子理论所必须面对的。难以形象地想象一个东西，比如一个电子或光子，表现得有一点像粒子，又有一点像波，或者谁都不像。爱因斯坦在余生中始终保持着对这些问题的关注。在1951年，也就是去世前四年，他写道：“五十年的沉思没能使我接近这个问题的答案一步：什么是光量子？”
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六十年之后，无可辩驳的是，这个我们正在用一系列小钟来构建的理论，能以可靠的精度给出所有用于检验它的实验结果。
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量子宇宙 回到海森伯不确定性原理
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那么，这就是引入普朗克常数的历史。但是在我们的目标中，最值得关注的东西，是普朗克常数具有“作用量”的单位；换句话说，它和告诉我们钟要转动多少的量，是同一种东西。它的当代数值是6.6260695729×10－34kg·m2/s，用日常标准来衡量是极小的。这就是我们没有在日常生活中感受到它无处不在效果的原因。
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回忆一下前文中，当粒子从一处跃至他处，对应的作用量就是粒子的质量乘以跳跃距离的平方，再除以跳跃发生的时间间隔。这个结果以kg·m2/s单位度量，和普朗克常数一样，所以如果简单将作用量除以普朗克常数，就能抵消所有的单位，得到一个纯数。按照费曼的方法，这个纯数就是我们在考虑粒子从一处跃至他处的情形中，与之关联的钟要转动的角度。例如，如果这个数是1，就是说转动1整圈；如果是1/2，则转动1/2圈，以此类推。用符号表示，在粒子于t时间内跳过x距离的情形中，钟指针转过的精确圈数是。注意因子1/2出现在了公式中。你既可以认为需要这个因子是为了符合实验，也可以注意到它来自作用量的定义[107]。两者都行。现在我们知道了普朗克常数的数值，就可以真正量化转过的圈数，并且解决前面留下的问题。就是说，跳过“10”单位距离到底是什么意思？
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让我们看看，用这个理论处理日常标准中的小物体——一粒沙子，会得到什么。我们发展出的量子力学理论表明，如果把沙粒放在某处，则在之后某时刻，它可以位于宇宙中的任意位置。但这显然不会发生在一粒真实的沙子上。我们已经瞥见了解决这个潜在问题的方法，因为如果钟之间有足够的干涉，对应沙粒从多个不同的初始位置开始跳跃，则它们会互相抵消，使沙子保持静止。我们需要回答的第一个问题是，如果我们把质量等于一粒沙的粒子，在一秒时间内，搬运0.001毫米，钟会转过多少圈？我们不能够用肉眼看到这么小的距离，但对于原子尺度来说它还是相当大的。你可以很容易地将这些数代入费曼的旋转法则中，并算出结果[108]。答案是钟大约得转动一亿年。想象一下这么多圈能产生多少干涉。最终结果是，沙粒留在原处，并且它跳到可辨远处的概率几乎没有，尽管我们真得考虑这粒沙子曾暗中跃至宇宙各处的可能性，这才得到了那个结果。
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这个结果十分重要。如果你自己代入数据做计算，就会意识到事情的原因：普朗克常数极小。写出完整形式，它的值是0.00000000000000000000000000000000066260695729kg·m2/s。用任何日常的数除以它，都会得到很大的转动圈数以及很多干涉相消。结果就是，沙粒横跨宇宙的诸次异域之旅完全互相抵消，而在我们的感知中，这位穿越寰宇的旅行者只不过是一粒无趣的沙尘，纹丝不动地躺在沙滩上。
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我们特别感兴趣的当然是，钟没有互相抵消的情形。我们已经看到，如果钟的转动不超过一圈，就会发生这样的情形。这种情形下，“量子干涉的狂欢”就不会发生。下面来看看这在定量上意味着什么。
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