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我们特别感兴趣的当然是,钟没有互相抵消的情形。我们已经看到,如果钟的转动不超过一圈,就会发生这样的情形。这种情形下,“量子干涉的狂欢”就不会发生。下面来看看这在定量上意味着什么。
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图4.4:现在我们不取定钟群大小、或者到X点的距离的数值,其余和图4.3一样。
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我们回到图4.4中画出的钟群,但是这次的分析会更抽象,而不是使用具体的数。我们假设,钟群的大小等于Δx,而X到钟群中最近位置的距离是x。在此情形中,钟群大小Δx对应我们对粒子初始位置认识的不确定性;它从一个大小为Δx的区域出发。我们从点1也就是钟群中离X最近的位置开始,从这个点跃至X,对应的钟的旋转量为
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现在我们来考虑最远的点3。把钟从那里移动到X,它会转过更多的量,即:
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现在我们可以精确地阐述,钟从钟群中所有点传播到X,并且不抵消的条件:分别从钟1和钟3出发的钟,转动圈数之差应不小于一整圈,即:
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W3-W1<一圈
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完整写下来就是:
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我们现在将考虑特殊情况,其中钟群的大小Δx远小于距离x。这就是说,我们希望粒子跃到远离其初始领域的地方。在这种情形中,从上一个式子中直接推出的钟不完全抵消的条件是:
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如果你懂一点数学,就能由打开括号项并忽略掉包含(Δx)2的所有项,得到这个结果。这是一个有效的近似,因为之前说过Δx和x相比非常小,而小量的平方是小上加小。
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这个式子就是在X处钟不完全抵消的条件。我们知道,如果在某处,钟不完全抵消,则很有可能会在那里找到粒子。因此我们发现,如果粒子在起初位于大小为Δx的钟群中,只要满足上述方程,则在t时间后,在与钟群相距x的较远位置找到粒子的机会不低。此外,这个距离随时间增加,因为它在式子中要除以t。换句话说,随着时间流逝,在距离初始位置更远处找到粒子的机会增加。这看似就像是粒子正在移动。还要注意到,在很远处找到粒子的机会也会随Δx减小(即随初始位置不确定性的减小)而增加。换句话说,我们将粒子固定得愈准确,它从初始位置移开得就愈快。现在这看起来很像是海森伯的不确定性原理。
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为了最终达成联系,我们来对方程变形。请注意,对于在t时间内离开钟群到达位置X的粒子,它必须跃过距离x。如果你真的在X处测量到粒子,就会自然得出结论,粒子运动的速度是x/t。还有,要记得质量乘以粒子的速度是其动量,所以mx/t就是测得的粒子动量。现在我们可以继续简化前式,得到:
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其中p是动量。这个方程可以变形成:
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pΔx<h
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图4.5:一小群随时间扩大的钟,对应一个初始时在局域而随时间前行离域的粒子。
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而这个式子真的十分重要,值得进一步讨论,因为它看起来非常像海森伯的不确定性原理。
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