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现在我们来考虑最远的点3。把钟从那里移动到X，它会转过更多的量，即：
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现在我们可以精确地阐述，钟从钟群中所有点传播到X，并且不抵消的条件：分别从钟1和钟3出发的钟，转动圈数之差应不小于一整圈，即：
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W3－W1＜一圈
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完整写下来就是：
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我们现在将考虑特殊情况，其中钟群的大小Δx远小于距离x。这就是说，我们希望粒子跃到远离其初始领域的地方。在这种情形中，从上一个式子中直接推出的钟不完全抵消的条件是：
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如果你懂一点数学，就能由打开括号项并忽略掉包含(Δx)2的所有项，得到这个结果。这是一个有效的近似，因为之前说过Δx和x相比非常小，而小量的平方是小上加小。
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这个式子就是在X处钟不完全抵消的条件。我们知道，如果在某处，钟不完全抵消，则很有可能会在那里找到粒子。因此我们发现，如果粒子在起初位于大小为Δx的钟群中，只要满足上述方程，则在t时间后，在与钟群相距x的较远位置找到粒子的机会不低。此外，这个距离随时间增加，因为它在式子中要除以t。换句话说，随着时间流逝，在距离初始位置更远处找到粒子的机会增加。这看似就像是粒子正在移动。还要注意到，在很远处找到粒子的机会也会随Δx减小（即随初始位置不确定性的减小）而增加。换句话说，我们将粒子固定得愈准确，它从初始位置移开得就愈快。现在这看起来很像是海森伯的不确定性原理。
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为了最终达成联系，我们来对方程变形。请注意，对于在t时间内离开钟群到达位置X的粒子，它必须跃过距离x。如果你真的在X处测量到粒子，就会自然得出结论，粒子运动的速度是x/t。还有，要记得质量乘以粒子的速度是其动量，所以mx/t就是测得的粒子动量。现在我们可以继续简化前式，得到：
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其中p是动量。这个方程可以变形成：
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pΔx＜h
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图4.5：一小群随时间扩大的钟，对应一个初始时在局域而随时间前行离域的粒子。
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而这个式子真的十分重要，值得进一步讨论，因为它看起来非常像海森伯的不确定性原理。
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数学部分暂告一段落，如果你没有用心跟上，应该能从这里重新跟上讨论。
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如果一个粒子从一个局域在大小为Δx的斑点内出发，则根据刚刚发现的结果，在一段时间后，粒子可以在大小为x的更大斑点内的任何位置被找到。图4.5描述的正是这种情形。精确地说，这意味着如果我们在刚开始时寻找粒子，则我们在内侧斑点内部找到的机会较大。如果没有测量，而是等一会儿，则稍后能在较大斑点内部某处找到它的机会较大。这就是说，粒子可以从初始的小斑点内的某处移动到较大斑点内的某处。它不一定非得移动不可，仍然有一定概率继续留在尺寸为Δx的较小区域中。但是测量很有可能显示，粒子已经移动到了较大斑点的边缘[109]。如果测量证实了这种极限情形，则我们会得出结论，粒子的动量由我们刚刚导出的式子给出（如果你没有跟上数学推导，只要相信这个结果就好），即p=h/Δx。
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现在，我们可以再次从头开始，将一切恢复如初，则粒子再次位于大小为Δx的较小初始斑点中。如果测量粒子，可能发现它位于较大的斑点内部某处，而不是在极限的边缘。我们会得出结论，粒子的动量比极限值小。
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想象我们多次重复这个实验，对于开始时位于大小为Δx的小钟群内部的粒子测量其动量，则我们通常会测得动量p的值在零到极限值h/Δx之间。也就是说“如果你重复多次做这项实验，那么我预测，你测得的动量会在零到h/Δx之间”就意味着“粒子动量的不确定度是h/Δx ”。和位置的不确定度类似，物理学者用符号Δp表示这种不确定度，写作ΔpΔx~h。“~”符号表明，位置和速度的不确定度之积大致等于普朗克常数；有可能大一点或者小一点。更细致的数学推导可以得到严格正确的式子。结果会依赖于初始钟群的细节，但没必要为此额外花时间，因为我们所做的已经足够抓住关键思想。
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粒子位置的不确定性乘以其动量的不确定性，（近似）等于普朗克常数，这句陈述也许是海森伯不确定性原理的最为人所熟悉的形式。它告诉我们，如果我们知道粒子在某个初始时刻位于某个区域，而在稍后时刻对粒子位置进行测量，就会发现粒子此时的动量值不能比“介于零与h/Δx之间的某个值”更准确地被预测。换句话说，如果我们一开始时，把粒子限制在愈来愈小的区域内，那么它就会有一种趋势，要愈来愈远地跃离这个区域。这一点非常重要，值得再三重申：愈是精确地知道粒子在某个瞬间的位置，就会愈不清楚它的运动快慢，因此也就愈不清楚稍后时刻它会在哪里。